リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を満たす持つもの上のシーケンス（列）に対して、もしも、マイナスシーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）が存在する場合、それは、シーケンス（列）のマイナスリミットインフェリア（下極限）であり、もしも、マイナスシーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）が存在する場合、それは、シーケンス（列）のマイナスリミットスピアリア（上極限）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のシーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のシーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）の定義を知っている。
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスインフィマム（下限）である、そして、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスサプリマム（上限）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を満たす持つもの上の任意のシーケンス（列）に対して、もしも、マイナス当該シーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）が存在する場合、それは、当該シーケンス（列）のマイナスリミットインフェリア（下極限）であり、もしも、マイナス当該シーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）が存在する場合、それは、当該シーケンス（列）のマイナスリミットスピアリア（上極限）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ リアルナンバー（実数）たちセット（集合） }\)で、カノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(s\): \(: J \to \mathbb{R}\)
\(- s\): \(: J \to \mathbb{R}, j \mapsto - s(j)\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists lim sup - s\)
\(\implies\)
\(\exists lim inf s \land lim sup - s = - lim inf s\)
)
\(\land\)
(
\(\exists lim inf - s\)
\(\implies\)
\(\exists lim sup s \land lim inf - s = - lim sup s\)
)
//
2: 注
"\(lim sup - s = - lim sup s\)"や"\(lim inf - s = - lim inf s\)"は一般に成立しない。
例えば、\(s = (1, -1, 1, -1, ...)\)に対して、\(lim sup - s = 1\)、その一方で、\(lim sup s = 1\)および\(lim inf - s = - 1\)、その一方で、\(lim inf s = - 1\)。
3: 証明
全体戦略: リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスインフィマム（下限）である、そして、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスサプリマム（上限）であるという命題を適用する; ステップ1: \(J\)がファイナイト（有限）であるケースに対処し、それ以降は、そうでないと仮定する; ステップ2: \(lim sup - s\)は存在するとは仮定する; ステップ3: \(lim sup - s = - lim inf s\)であることを見る; ステップ4: \(lim inf - s\)は存在すると仮定する; ステップ5: \(lim inf - s = - lim sup s\)であることを見る。
ステップ1:
\(\vert J \vert = n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)であると仮定しよう。
\(lim sup - s\)は不可避に存在する、\(= - s (J_n)\)として。
\(- lim inf s\)は不可避に存在する、\(= - s (J_n)\)として。
したがって、\(lim sup - s = - lim inf s\)。
\(lim inf - s\)は不可避に存在する、\(= - s (J_n)\)として。
\(- lim sup s\)は不可避に存在する、\(= - s (J_n)\)として。
したがって、\(lim inf - s = - lim sup s\)。
これ以降は、そうでないと仮定しよう。
ステップ2:
\(lim sup - s\)は存在すると仮定しよう。
ステップ3:
\(lim sup - s = Inf (\{Sup (\{- s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\).
\(= Inf (\{- Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスインフィマム（下限）である、そして、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスサプリマム（上限）であるという命題によって、\(= - Sup (\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスインフィマム（下限）である、そして、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスサプリマム（上限）であるという命題によって、\(= - lim inf s\)。
ステップ4:
\(lim inf - s\)は存在すると仮定しよう。
ステップ5:
\(lim inf - s = Sup (\{Inf (\{- s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}) = Sup (\{- Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスインフィマム（下限）である、そして、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスサプリマム（上限）であるという命題によって、\(= - Inf (\{Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスインフィマム（下限）である、そして、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスサプリマム（上限）であるという命題によって、\(= - lim sup s\)。
