トポロジカルスペース（空間）およびスペース（空間）からユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、マップ（写像）たちの合計はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コドメイン（余域）のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）から任意のリング（環）またはモジュール（加群）の中へのマップ（写像）たちの任意のセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、当該マップ（写像）たちの合計のサポートは当該マップ（写像）たちのサポートたちのユニオン（和集合）内に包含されているという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）たちの任意のセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、当該マップ（写像）たちの合計はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(= \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(\in \{\text{ 全てのユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{f_j: T \to \mathbb{R}^d, \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\} \vert j \in J\}\): で、以下を満たすもの、つまり、\(\{{f_j}^{-1} (\mathbb{R}^d \setminus \{0\}) \vert j \in J\}\)はローカルにファイナイト（有限）である
\(\sum_{j \in J} f_j\): \(: T \to \mathbb{R}^d, t \mapsto \sum_{j \in J^`_t} f_j (t) \text{ 任意の } J^`_t \in \{J \text{ の全てのファイナイトサブセット（有限部分集合）たち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \forall j \in J \setminus J^`_t (f_j (t) = 0) \text{ 、に対して }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sum_{j \in J} f_j \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
2: 注
\(\sum_{j \in J} f_j\)は妥当である、任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）から任意のリング（環）またはモジュール（加群）の中へのマップ（写像）たちの任意のセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、当該マップ（写像）たちの合計のサポートは当該マップ（写像）たちのサポートたちのユニオン（和集合）内に包含されているという命題に対する"注"によって。
\(\{Supp (f_j) \vert j \in J\}\)がローカルにファイナイト（有限）である時、\(\{{f_j}^{-1} (\mathbb{R}^d \setminus \{0\}) \vert j \in J\}\)はローカルにファイナイト（有限）である、なぜなら、\({f_j}^{-1} (\mathbb{R}^d \setminus \{0\}) \subseteq Supp (f_j)\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(t \in T\)に対して、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t\)で何らかファイナイト（有限）個の\({f_j}^{-1} (\mathbb{R}^d \setminus \{0\})\)たちのみと交わるものを取り、各\((\sum_{j \in J} f_j) \vert_{U_t}\)はコンティニュアス（連続）であることを見、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を適用する。
ステップ1:
各\(t \in T\)に対して、\(t\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_t \subseteq T\)、つまり、以下を満たすあるファイナイト（有限）\(J^`_t \subseteq J\)、つまり、各\(j \in J \setminus J^`_t\)に対して、\(N_t \cap {f_j}^{-1} (\mathbb{R}^d \setminus \{0\}) = \emptyset\)、がある、がある、すると、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(U_t \subseteq N_t\)、があり、\(U_t \cap {f_j}^{-1} (\mathbb{R}^d \setminus \{0\}) = \emptyset\)、各\(j \in J \setminus J^`_t\)に対して。
\((\sum_{j \in J} f_j) \vert_{U_t} = \sum_{j \in J^`_t} f_j \vert_{U_t}\)、なぜなら、以下を満たす各\(j \in J\)、つまり、\(j \notin J^`_t\)、に対して、\(f_j \vert_{U_t} = 0\)、なぜなら、\(U_t \cap {f_j}^{-1} (\mathbb{R}^d \setminus \{0\}) = \emptyset\)、それが意味するのは、各\(t' \in U_t\)に対して、\(t' \notin {f_j}^{-1} (\mathbb{R}^d \setminus \{0\})\)、それが意味するのは、\(f_j (t') = 0\)。
したがって、\((\sum_{j \in J} f_j) \vert_{U_t}\)はコンティニュアス（連続）である、\(\mathbb{R}^d\)の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのあるファイナイト（有限）数合計として: 各\(f_j \vert_{U_t}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(\{U_t \vert t \in T\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
したがって、\(\sum_{j \in J} f_j\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。
