セット（集合）のサブセット（部分集合）たちのシーケンス（列）の包含されるコンバージェンス（収束部分集合）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シーケンス（列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、セット（集合）のサブセット（部分集合）たちのシーケンス（列）の包含されるコンバージェンス（収束部分集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\( S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\( s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq Pow (S')\)
\(*lim_{ce} s\): \(\subseteq S'\)
//
コンディションたち:
\(\forall j \in J (lim_{ci} s \subseteq s (j))\)
\(\land\)
(
\(\vert J \vert \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \implies lim_{ce} s = s (J_{\vert J \vert})\)
\(\land\)
\(\vert J \vert = \infty \implies \forall p \in S' \setminus lim_{ci} s (\exists N \in \mathbb{N} (\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } N \lt n (p \in S' \setminus s (J_n))))\)
)
//
2: 注
本定義は、\(lim_{ce} s\)が常に存在するとは言っておらず、もしも、そうしたある\(lim_{ce} s\)が存在する場合、それは"\(s\)の包含されるコンバージェンス（収束部分集合）"と呼ばれると言っている。
例えば、\(J\)がファイナイト（有限）である時、もしも、\(s (J_{\vert J \vert}) \subseteq s (j)\)はある\(j \in J\)に対して成立しない場合、\(lim_{ce} s\)は存在しない。
\(lim_{ci} s\)が存在するある典型的ケースは、\(s\)が非増加であるものである、それが意味するのは、各\(j \lt j'\)に対して、\(s (j') \subseteq s (j)\)、なぜなら、\(lim_{ce} s = \cap_{j \in J} s (j)\)、なぜなら、各\(j \in J\)に対して、\(\cap_{j \in J} s (j) \subseteq s (j)\)、そして、各\(p \in S' \setminus \cap_{j \in J} s (j)\)に対して、\(p \notin \cap_{j \in J} s (j)\)、したがって、\(p \notin s (j)\)、ある\(j = J_N \in J\)に対して、したがって、\(p \in S' \setminus s (J_N)\)、しかし、各\(N \lt n\)に対して、\(J_N \lt J_n\)および\(p \in S' \setminus s (J_N) \subseteq S' \setminus s (J_n)\)。
\(lim_{ce} s\)が存在する時、それはユニークである、なぜなら、もしも、\(S\)が別の包含されるコンバージェンス（収束部分集合）である場合、各\(p \in S' \setminus S\)に対して、\(p \in S' \setminus s (j)\)、ある\(j \in J\)に対して、しかし、\(p \in S' \setminus s (j) \subseteq S' \setminus lim_{ce} s\)、したがって、\(S' \setminus S \subseteq S' \setminus lim_{ce} s\)、そして、\(S' \setminus lim_{ce} s \subseteq S' \setminus S\)、対称性により、したがって、\(S' \setminus S = S' \setminus lim_{ce} s\)、したがって、\(S = lim_{ce} s\)。
実のところ、"包含されるコンバージェンス（収束部分集合）"も"\(lim_{ce} s\)"も、著者が何らかの文献内に見たものではない: 本定義は、著者がそれを必要としたがゆえに作り出された。
セット（集合）のサブセット（部分集合）たちのシーケンス（列）の包含するコンバージェンス（収束部分集合）の定義と比較のこと。
