オープンインターバル（開区間）からセット（集合）のパワーセット（集合）の中へのマップ（写像）のバウンダリー（境界）における包含するコンバージェンス（収束部分集合）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、オープンインターバル（開区間）からセット（集合）のパワーセット（集合）の中へのマップ（写像）のバウンダリー（境界）における包含するコンバージェンス（収束部分集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( (r_1, r_2)\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのオープンインターバル（開区間）たち }\}\)、ここで、\(r_1\)は\(- \infty\)であり得、\(r_2\)は\(\infty\)であり得る
\( S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\( f\): \(: (r_1, r_2) \to Pow (S')\)
\(*lim_{ci, r_1} f\): \(\subseteq S'\)
\(*lim_{ci, r_2} f\): \(\subseteq S'\)
//
コンディションたち:
(
\(\forall r \in (r_1, r_2) (f (r) \subseteq lim_{ci, r_1} f)\)
\(\land\)
\(\forall p \in lim_{ci, r_1} f (\exists {r_1}' \in (r_1, r_2) (\forall r \in (r_1, {r_1}') (p \in f (r))))\)
)
\(\land\)
(
\(\forall r \in (r_1, r_2) (f (r) \subseteq lim_{ci, r_2} f)\)
\(\land\)
\(\forall p \in lim_{ci, r_2} f (\exists {r_2}' \in (r_1, r_2) (\forall r \in ({r_2}', r_2) (p \in f (r))))\)
)
//
2: 注
本定義は、\(lim_{ci, r_1} f\)または\(lim_{ci, r_2} f\)が常に存在するとは言っておらず、もしも、そうしたある\(lim_{ci, r_1} f\)または\(lim_{ci, r_2} f\)が存在する場合、それは"\(f\)の\(r_1\)または\(r_2\)における包含するコンバージェンス（収束部分集合）"と呼ばれると言っている。
\(lim_{ci, r_1} f\)が存在するある典型的ケースは、\(f\)が非増加であるものである、それが意味するのは、各\(r \lt r'\)に対して、\(f (r') \subseteq f (r)\)であること、なぜなら、\(lim_{ci, r_1} f = \cup_{r \in (r_1, r_2)} f (r)\)、なぜなら、各\(r \in (r_1, r_2)\)に対して、\(f (r) \subseteq \cup_{r \in (r_1, r_2)} f (r)\)、そして、各\(p \in \cup_{r \in (r_1, r_2)} f (r)\)に対して、\(p \in f (r)\)、ある\(r \in (r_1, r_2)\)に対して、しかし、各\(r' \in (r_1, r)\)に対して、\(r' \lt r\)および\(p \in f (r) \subseteq f (r')\)。
\(lim_{ci, r_2} f\)が存在するある典型的ケースは、\(f\)は非減少であるものである、それが意味するのは、各\(r \lt r'\)に対して、\(f (r) \subseteq f (r')\)であること、なぜなら、\(lim_{ci, r_2} f = \cup_{r \in (r_1, r_2)} f (r)\)、なぜなら、各\(r \in (r_1, r_2)\)に対して、\(f (r) \subseteq \cup_{r \in (r_1, r_2)} f (r)\)、そして、各\(p \in \cup_{r \in (r_1, r_2)} f (r)\)に対して、\(p \in f (r)\)、ある\(r \in (r_1, r_2)\)に対して、しかし、各\(r' \in (r, r_2)\)に対して、\(r \lt r'\)および\(p \in f (r) \subseteq f (r')\)。
\(lim_{ci, r_1} f\)が存在する時、それはユニークである、なぜなら、もしも、\(S\)が\(r_1\)における別の包含するコンバージェンス（収束部分集合）である場合、各\(p \in S\)に対して、\(p \in f (r)\)、ある\(r \in (r_1, r_2)\)に対して、しかし、\(p \in f (r) \subseteq lim_{ci, r_1} f\)、したがって、\(S \subseteq lim_{ci, r_1} f\)、そして、\(lim_{ci, r_1} f \subseteq S\)、対称性により、したがって、\(S = lim_{ci, r_1} f\)。
\(lim_{ci, r_2} f\)が存在する時、それはユニークである、なぜなら、もしも、\(S\)が\(r_2\)における別の包含するコンバージェンス（収束部分集合）である場合、各\(p \in S\)に対して、\(p \in f (r)\)、ある\(r \in (r_1, r_2)\)に対して、しかし、\(p \in f (r) \subseteq lim_{ci, r_2} f\)、したがって、\(S \subseteq lim_{ci, r_2} f\)、そして、\(lim_{ci, r_2} f \subseteq S\)、対称性により、したがって、\(S = lim_{ci, r_2} f\)。
実のところ、"包含するコンバージェンス（収束部分集合）"も"\(lim_{ci, r_j} f\)"も、著者が何らかの文献内に見たものではない: 本定義は、著者がそれを必要としたがゆえに作り出された。
オープンインターバル（開区間）からセット（集合）のパワーセット（集合）の中へのマップ（写像）のバウンダリー（境界）における包含されるコンバージェンス（収束部分集合）の定義と比較のこと。
