リアルナンバー（実数）たちセット（集合）上の値バウンデッド（有界）シーケンス（列）に対して、リミットインフェリア（下極限）およびリミットスピアリア（上極限）は存在することの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）上の任意の値バウンデッド（有界）シーケンス（列）に対して、当該シーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）およびリミットスピアリア（上極限）は存在するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(\mathbb{R}\): で、カノニカル（正典）オーダリング（順序）\(\lt\)を持つもの
\(s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists r_1, r_2 \in \mathbb{R} (\forall j \in J (r_1 \lt s (j) \lt r_2))\)
\(\implies\)
\(\exists lim inf s \land \exists lim sup s\)
//
2: 注
私たちが、"\(lim inf s\)は存在しない"とか"\(lim sup s\)は存在しない"とか言う時、それが意味するのは、それは\(\mathbb{R}\)内に存在しないということ: それは\(\infty\)または\(- \infty\)として存在すると言う人がいるかもしれないが、\(\infty\)や\(- \infty\)は\(\mathbb{R}\)の要素ではない: その人は本当は、エクステンデッド（拡張された）リアルナンバー（実数）たちリニアリーオーダードセット（線形順序集合）\(\mathbb{R} \cup \{- \infty, \infty\}\)内で考えているのであり、\(\mathbb{R}\)内でではない。
3: 証明
全体戦略: リアルナンバー（実数）たちセット（集合）の任意の非空アッパーバウンデッド（上に有界）サブセット（部分集合）はサプリマム（上限）を持ち、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）の任意の非空ローワーバウンデッド（下に有界）サブセット（部分集合）はインフィマム（下限）を持つというよく知られた事実を使う; ステップ1: \(r_1 \le Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)、各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、であることを見る; ステップ2: \(Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le r_2\)、各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、であることを見る。
ステップ1:
各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\} \lt r_2\)、したがって、\(Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)は存在する。
各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(r_1 \le Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)、なぜなら、そうでなかったら、\(Sup (...) \lt r_1 \lt s (J_n)\)、ある（実のところ、各）\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\)に対して、\(Sup (...)\)はサプリマム（上限）であることに反する矛盾。
したがって、\(r_1 - 1 \lt \{Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}\)、そして、\(Inf (\{Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)は存在する。
ステップ2:
各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(r_1 \lt \{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}\)、したがって、\(Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)は存在する。
各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le r_2\)、なぜなら、そうでなかったら、\(s (J_n) \lt r_2 \lt Inf (...)\)、ある（実のところ、各）\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\)に対して、\(Inf (...)\)はインフィマム（下限）であることに反する矛盾。
したがって、\(\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\} \lt r_2 + 1\)、そして、\(Sup (\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)は存在する。
