セット（集合）からユークリディアンメジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのファイナイト（有限）数マップ（写像）たちに対して、ドメイン（定義域）上にマップ（写像）たちの合計によってインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、ドメイン（定義域）上にマップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）から任意のユークリディアンメジャラブルスペース（測定可能空間）の中への任意のファイナイト（有限）数マップ（写像）たちに対して、当該ドメイン（定義域）上に当該マップ（写像）たちの合計によってインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、当該ドメイン（定義域）上に当該マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメジャラブルスペース（測定可能空間） }\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(\{f_j: S_1 \to \mathbb{R}^d \vert j \in J\}\):
\(\sum_{j \in J} f_j\): \(: S_1 \to \mathbb{R}^d\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sigma (\sum_{j \in J} f_j) \subseteq \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)
//
2: 注
"\(\sigma (\sum_{j \in J} f_j) = \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)"は、必ずしも成立しない。
例えば、\(S_1 = \mathbb{R}\)、\(f_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, r \mapsto r\)、\(f_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, r \mapsto - r\)としよう。すると、\(\sum_{j \in J} f_j = 0\)、したがって、\(\sigma (\sum_{j \in J} f_j) = \{\mathbb{R}, \emptyset\}\)、しかし、\(\{\mathbb{R}, \emptyset\} \subset \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)、なぜなら、\(\{\mathbb{R}, \emptyset\}\)は\(f_1\)をメジャラブル（測定可能）にしない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)に関して\(\sum_{j \in J} f_j\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る。
ステップ1:
\(S_1\)に\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)が与えられて、\(f_j\)はメジャラブル（測定可能）である、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(\sum_{j \in J} f_j\)はメジャラブル（測定可能）である、よく知られているとおり。
したがって、\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)は、\(\sum_{j \in J} f_j\)をメジャラブル（測定可能）にするある\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である。
したがって、\(\sigma (\sum_{j \in J} f_j) \subseteq \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)、なぜなら、\(\sigma (\sum_{j \in J} f_j)\)は、\(\sum_{j \in J} f_j\)をメジャラブル（測定可能）にする最小\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である、メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのマップ（写像）たちのドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義に対する"注"によって。
