メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのマップ（写像）たちのドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのマップ（写像）たちのドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\( (M_2, A_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\( J\): \(\in \{\text{ 全てのインデックスセット（集合）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\( \{f_j: S_1 \to M_2 \vert j \in J\}\):
\(*\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\): \(= S_1 \text{ の以下を満たす最小 } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） } \text{ 、つまり、 } \forall j \in J (f_j \in \{\text{ 全てのメジャラブル（測定可能）マップ（写像）たち }\})\)
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コンディションたち:
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2: 注
\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)はユニークに決定される、なぜなら、それは、 \(S_1\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちで全ての\(f_j\)たちをメジャラブル（測定可能）にする全てのものたちのインターセクション（共通集合）である、その一方、少なくとも、\(Pow (S_1)\)はそうしたある\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である: \(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちで全ての\(f_j\)たちをメジャラブル（測定可能）にするものたちのセット（集合）があるが、それは、\(Pow (S_1)\)を含んでおり、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）を取る: 当該インターセクション（共通集合）はある\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である、任意のセット（集合）に対して、任意の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）は\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるという命題によって、そして、当該インターセクション（共通集合）は全ての\(f_j\)たちをメジャラブル（測定可能）にする、なぜなら、各\(a_2 \in A_2\)に対して、\({f_j}^{-1} (a_2)\)は当該セット（集合）の各要素内に包含されている、したがって、\({f_j}^{-1} (a_2)\)は当該インターセクション（共通集合）内に包含されている、そして、当該インターセクション（共通集合）は最小のそうしたものである、なぜなら、任意のそうした\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該インターセクション（共通集合）のある構成要素である。
\(\vert J \vert = 1\)である時は、\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\}) = \sigma (f_{J_1})\)、メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのマップ（写像）のドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義による、である、なぜなら、\(\sigma (f_{J_1})\)は、\(f_{J_1}\)をメジャラブル（測定可能）にする最小\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である、メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのマップ（写像）のドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義に対する"注"内に言及されているとおり。
\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\}) = \sigma (\cup_{j \in J} \sigma (f_j))\)、なぜなら、\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\}) \subseteq \sigma (\cup_{j \in J} \sigma (f_j))\)、なぜなら、\(\sigma (\cup_{j \in J} \sigma (f_j))\)は全ての\(f_j\)たちをメジャラブル（測定可能）にする、なぜなら、各\(a_2 \in A_2\)に対して、\({f_j}^{-1} (a_2) \in \sigma (f_j)\)、したがって、\({f_j}^{-1} (a_2) \in \cup_{j \in J} \sigma (f_j) \subseteq \sigma (\cup_{j \in J} \sigma (f_j))\); 各\(j \in J\)に対して、\(\sigma (f_j) \subseteq \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)、なぜなら、\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)は\(f_j\)をメジャラブル（測定可能）にする、したがって、\(\cup_{j \in J} \sigma (f_j) \subseteq \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)、したがって、\(\sigma (\cup_{j \in J} \sigma (f_j)) \subseteq \sigma (\sigma (\{f_j \vert j \in J\})) = \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)、任意のセット（集合）および任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）たちに対して、もしも、前者サブセット（部分集合）たちのセット（集合）が後者サブセット（部分集合）たちのセット（集合）内に包含されている場合、前者セット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、後者セット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）内に包含されているという命題および任意のセット（集合）および任意のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、当該サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるという命題によって。
