\(2\)-シンメトリック（対称）-テンソルによるクワドラティックフォーム（2次形式）はテンソルを決定することの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(2\)-シンメトリック（対称）-テンソルによるクワドラティックフォーム（2次形式）は当該テンソルを決定するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(\{V, W\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\Sigma_2 (V: W)\): \(= F \text{ 、 } F \text{ 上方の } 2 \text{ 個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するシンメトリック（対称）-テンソルたちスペース（空間） }\)
\(t\): \(\in \Sigma_2 (V: W)\)
\(t'\): \(\in \Sigma_2 (V: W)\)
\(\widetilde{t}\): \(: V \to W, v \mapsto t (v, v)\)
\(\widetilde{t'}\): \(: V \to W, v \mapsto t' (v, v)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\widetilde{t} = \widetilde{t'}\)
\(\implies\)
\(t = t'\)
//
2: 注
本命題が成立する理由は、\(t\)および\(t'\)がシンメトリック（対称）であると事前仮定されていること。
もしも、\(t\)および\(t'\)がシンメトリック（対称）であるよう事前仮定されていない場合、\(\widetilde{t} = \widetilde{t'}\)は\(t = t'\)を含意しない。
例えば、\(F = \mathbb{R}\)、\(V = \mathbb{R}^2\)、\(W = \mathbb{R}\)で\(V\)のスタンダード（標準）ベーシス（基底）を持つもの、\(t\)のコンポーネントたちは\(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)、\(t'\)のコンポーネントたちは\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)、としよう、すると、\(\widetilde{t} (v) = v^t \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} v = (v^1, v^2) (v^1 + v^2, v^2)^t = v^1 (v^1 + v^2) + {v^2}^2 = {v^1}^2 + v^1 v^2 + {v^2}^2\)および\(\widetilde{t'} (v) = v^t \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} v = (v^1, v^2) (v^1, v^1 + v^2)^t = {v^1}^2 + v^2 (v^1 + v^2) = {v^1}^2 + v^1 v^2 + {v^2}^2\)、したがって、\(\widetilde{t} = \widetilde{t'}\)、しかし、\(t \neq t'\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(v_1, v_2 \in V\)に対して、\(t (v_1 + v_2) = t' (v_1 + v_2)\)を取り、\(t\)および\(t'\)はシンメトリック（対称）であるという事実を使う。
ステップ1:
\(v_1, v_2 \in V\)を任意のものとしよう。
\(\widetilde{t} (v_1 + v_2) = \widetilde{t'} (v_1 + v_2)\)。
\(\widetilde{t} (v_1 + v_2) = t (v_1 + v_2, v_1 + v_2) = t (v_1 + v_2, v_1) + t (v_1 + v_2, v_2) = t (v_1, v_1) + t (v_2, v_1) + t (v_1, v_2) + t (v_2, v_2) = t (v_1, v_1) + t (v_1, v_2) + t (v_1, v_2) + t (v_2, v_2)\)、なぜなら、\(t\)はシンメトリック（対称）である、\(= t (v_1, v_1) + 2 t (v_1, v_2) + t (v_2, v_2)\)。
\(\widetilde{t'} (v_1 + v_2) = t' (v_1, v_1) + 2 t' (v_1, v_2) + t' (v_2, v_2)\)、同様に。
しかし、\(t (v_1, v_1) = t' (v_1, v_1)\)および\(t (v_2, v_2) = t' (v_2, v_2)\)であるから、\(\widetilde{t} (v_1 + v_2) = \widetilde{t'} (v_1 + v_2)\)は、\(t (v_1, v_2) = t' (v_1, v_2)\)を含意する。
それが意味するのは、任意の引数たちセット（集合）に対して、\(t\)および\(t'\)は同一の結果を与えるということ、それが意味するのは、\(t = t'\)。
