\(2\)-シンメトリック（対称）-テンソルによるクワドラティックフォーム（2次形式）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(2\)-シンメトリック（対称）-テンソルによるクワドラティックフォーム（2次形式）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V, W\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルスペース（空間）たち }\}\)
\( \Sigma_2 (V: W)\): \(= F \text{ 、 } F \text{ 上方の } 2 \text{ 個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するシンメトリック（対称）-テンソルたちスペース（空間） }\)
\( t\): \(\in \Sigma_2 (V: W)\)
\(*\widetilde{t}\): \(: V \to W, v \mapsto t (v, v)\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
通常は、ある"クワドラティックフォーム（2次形式）"は、\(\widetilde{M}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}, v \mapsto v^t M v\)、ここで、\(M\)はある\(d \times d\)リアル（実）シンメトリックマトリックス（対称行列）、である、それは、実のところ、本定義の、以下を満たすある特別なケース、つまり、\(F = \mathbb{R}\)、\(V\)は任意の\(d\)-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）、\(W = \mathbb{R}\)、\(t\)のコンポーネントたちは\(M\)、\(v\)のコンポーネントたちは\((v^1, ..., v^d)\)、の、\(V\)に対する任意のベーシス（基底）に関するコンポーネントたち表現である: \(t (v, v) = M_{j, l} v^j v^l\)、それは、便宜に、\(M^j_l v_j v^l = v^t M v\)として書かれる。
\(t\)は\(\widetilde{t}\)を決定する、そして、実のところ、\(\widetilde{t}\)は\(t\)を決定する、任意の\(2\)-シンメトリック（対称）-テンソルによるクワドラティックフォーム（2次形式）は当該テンソルを決定するという命題によって。
