リアルナンバー（実数）に対して、増加シーケンス（列）でラショナル（有理）値たちを持ち分母たちが同一基底を持つようにもできリアルナンバー（実数）にコンバージ（収束）するものがあることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のリアルナンバー（実数）に対して、ある増加シーケンス（列）でラショナル（有理）値たちを持ち分母たちが任意の同一基底を持つようにもでき当該リアルナンバー（実数）にコンバージ（収束）するものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(r\): \(\in \mathbb{R}\)
\(b\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists s: \mathbb{N} \to \mathbb{R} (\forall n \in \mathbb{N} (s (n) \in \mathbb{Q}) \land \forall n, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } n \lt n' (s (n) \lt s (n')) \land lim s = r)\)
\(\land\)
\(\exists s: \mathbb{N} \to \mathbb{R} (\forall n \in \mathbb{N} (s (n) = z_n / b^{m_n} \text{ ここで、 } m_n \in \mathbb{N} \land z_n \in \mathbb{Z} \land \forall n, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } n \lt n' (s (n) \lt s (n')) \land lim s = r))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s': \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto (1 / 2)^n\)を取り、\(lim s' = 0\)であることを見る; ステップ2: \(s: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\)を\(r - s' (n) \lt s (n) \lt r - s' (n + 1)\)を満たすように取る; ステップ3: \(s\)は増加し\(lim s = r\)であることを見る。
ステップ1:
\(s': \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto (1 / 2)^n\)を取ろう。
\(lim s' = 0\)、なぜなら、\(0 \lt \epsilon\)を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\((1 / 2)^N \lt \epsilon\)、がある、そして、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\((1 / 2)^n \lt (1 / 2)^N \lt \epsilon\)。
ステップ2:
各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r - s' (n) \lt r - s' (n + 1)\)、そして、以下を満たすある\(s (n) \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(r - s' (n) \lt s (n) \lt r - s' (n + 1)\)、を取ることができる、任意のリアルナンバー（実数）より大きく別の任意のリアルナンバー（実数）以下であるあるラショナルナンバー（有理数）をシステマチックに選ぶある方法によって。
特に、\(s (n)\)は、\(z_n / b^{m_n}\)、ここで、\(m_n \in \mathbb{N}\)および\(z_n \in \mathbb{Z}\)、であるように取ることができる、任意のリアルナンバー（実数）より大きく別の任意のリアルナンバー（実数）以下であるあるラショナルナンバー（有理数）をシステマチックに選ぶある方法に対する"注"内で言及されているとおり: \(b\)たちは、\(n\)たちに対して異なるように取ることはできるが、多くのケースたちにおいて、全ての\(n\)たちに対して同一の\(b\)を取るのが好都合である。
ステップ3:
\(n \lt n'\)を満たす各\(n, n' \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (n) \lt r - s' (n + 1) \le r - s' (n')\)、なぜなら、\(n + 1 \le n'\)、\(\lt s (n')\)、したがって、\(s (n) \lt s (n')\)。
\(lim s = r\)、なぜなら、\(0 \lt \epsilon\)を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(s' (n) \lt \epsilon\)、したがって、\(r - s (n) \lt r - (r - s' (n)) = s' (n) \lt \epsilon\)、その一方、\(0 \le r - s (n)\)、したがって、\(\vert r - s (n) \vert \lt \epsilon\)。
