ユニタリマトリックス（行列）のコンポーネントは絶対値\(1\)以下を持つことの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユニタリマトリックス（行列）の各コンポーネントは絶対値\(1\)以下を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times n \text{ ユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j, l \in \{1, ..., n\} (\vert M^j_l \vert \le 1)\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\sum_{l \in \{1, ..., n\}} \vert M^j_l \vert^2 = 1\).
Step 1:
\(M M^* = I\), by the definition of unitary matrix.
Let \(j \in \{1, ..., n\}\) be any.
\((M M^*)^j_j = I^j_j = 1\), but he left hand side is \(\sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l {M^*}^l_j = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l \overline{M^j_l} = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} \vert M^j_l \vert^2\).
So, for each \(l \in \{1, ..., n\}\), \(\vert M^j_l \vert^2 \le 1\).
So, \(\vert M^j_l \vert \le 1\) for each \(j, l \in \{1, ..., n\}\).
