\(n \times n\)ユニタリマトリックス（行列）たちグループ（群）の定義
話題
About: グループ（群）
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(n \times n\)ユニタリマトリックス（行列）たちグループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \mathbb{C}\): \(= \text{ コンプレックスナンバー（複素数）たちフィールド（体） }\)
\( \{M\}\): \(= \text{ 全ての } \mathbb{C} \text{ マトリックス（行列）たちスペース（空間） }\)
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(*U (n)\): \(= \{M \in \{M\} \vert M \in \{\text{ 全ての } n \times n \text{ ユニタリマトリックス（行列）たち }\}\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(U (n)\)は本当にあるグループ（群）であることを見よう。
\(M_1, M_2, M_3 \in U (n)\)を任意のものたちとしよう。
\(M_1 M_2 \in U (n)\)、なぜなら、\((M_1 M_2)^* = {M_2}^* {M_1}^*\)、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のエルミートコンジュゲート（共役）は、当該構成要素たちのエルミートコンジュゲート（共役）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって、\(= {M_2}^{- 1} {M_1}^{- 1}\)、したがって、\((M_1 M_2)^* M_1 M_2 = {M_2}^{- 1} {M_1}^{- 1} M_1 M_2 = {M_2}^{- 1} I M_2 = {M_2}^{- 1} M_2 = I\)および\(M_1 M_2 (M_1 M_2)^* = M_1 M_2 {M_2}^{- 1} {M_1}^{- 1} = M_1 I {M_1}^{- 1} = M_1 {M_1}^{- 1} = I\)、したがって、\((M_1 M_2)^* = (M_1 M_2)^{- 1}\)。
1) \((M_1 \bullet M_2) \bullet M_3 = M_1 \bullet (M_2 \bullet M_3)\): 任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるという命題によって。
2) \(i \in U (n)\)（'アイデンティティ（単位）要素'と呼ばれる)で、以下を満たすもの、つまり、\(i \bullet M_1 = M_1 \bullet i = M_1\): アイデンティティ（単位）行列\(I\)は、\(U (n)\)内にある、なぜなら、\(I^* = I = I^{-1}\)、そして、\(I M_1 = M_1 I = M_1\)。
3) \({M_1}^{- 1} \in U (n)\)（'\(M_1\)のインバース（逆）要素'と呼ばれる）で、以下を満たすもの、つまり、\({M_1}^{- 1} \bullet M_1 = M_1 \bullet {M_1}^{- 1} = I\): \({M_1}^* = {M_1}^{- 1} \in U (n)\)、なぜなら、\({{M_1}^*}^* = M_1\)および\({M_1}^* M_1 = I = M_1 {M_1}^*\)、したがって、\({{M_1}^*}^{- 1} = M_1 = {{M_1}^*}^*\)。
したがって、\(U (n)\)はあるグループ（群）である。
