グループ（群）に対して、非空サブセット（部分集合）はサブグループ（部分群）である、もしも、それはオペレーションおよびインバージョン（逆算）下に閉じている場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の非空サブセット（部分集合）はあるサブグループ（部分群）である、もしも、それはオペレーションおよびインバージョン（逆算）下に閉じている場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq G\)で、以下を満たすもの、つまり、\(S \neq \emptyset\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{G \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 s_2 \in S \land {s_1}^{- 1} \in S)\)
//
2: 注
要点は、\(s_1 s_2 \in S\)だけまたは\({s_1}^{- 1} \in S\)だけでは、\(S\)があるサブグループ（部分群）であるのに十分でないということ。
例えば、\(G = \mathbb{Z}\)、アディティブ（加法）グループ（群）として、および\(S = \mathbb{N}\)としよう、すると、\(S\)はオペレーション下に閉じている、しかし、\(S\)はサブグループ（部分群）ではない、なぜなら、\(1\)のインバース（逆）は\(S\)内に包含されていない、例えば; \(G = \mathbb{Z}\)、アディティブ（加法）グループ（群）として、および\(S = \{- 1, 1\}\)としよう、すると、\(S\)はインバージョン（逆算）下に閉じている、しかし、\(S\)はサブグループ（部分群）ではない、なぜなら、\(1 + 1 \notin S\)。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that \(S\) is a subgroup; Step 2: see that \(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 s_2 \in S \land {s_1}^{- 1} \in S)\); Step 3: suppose that \(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 s_2 \in S \land {s_1}^{- 1} \in S)\); Step 4: see that \(S\) is a subgroup.
Step 1:
Let us suppose that \(S\) is a subgroup.
Step 2:
\(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 s_2 \in S \land {s_1}^{- 1} \in S)\) is obvious, because \(S\) is a group.
Step 3:
Let us suppose that \(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 s_2 \in S \land {s_1}^{- 1} \in S)\).
Step 4:
Let us see that \(S\) satisfies the conditions to be a group.
As \(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 s_2 \in S)\), the operation induced by the operation on \(G\) is well defined on \(S\).
Let \(s_1, s_2, s_3 \in S\) be any.
1) \((s_1 \bullet s_2) \bullet s_3 = s_1 \bullet (s_2 \bullet s_3)\): because it holds on the ambient \(G\).
2) \(i \in S\) (called 'identity element') such that \(i \bullet s_1 = s_1 \bullet i = s_1\): as \(S \neq \emptyset\), there is an \(s \in S\), but \(s^{- 1} \in S\) and \(s s^{- 1} = i \in S\), and \(i s_1 = s_1 i = s_1\), because it holds on the ambient \(G\).
3) \({s_1}^{- 1} \in S\) (called 'inverse element of \(s_1\)') such that \({s_1}^{- 1} \bullet s_1 = s_1 \bullet {s_1}^{- 1} = i\): \({s_1}^{- 1} \in S\), and \({s_1}^{- 1} s_1 = s_1 {s_1}^{- 1} = i\), because it holds on the ambient \(G\).
