ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のスペシャルリニア（線形）グループ（群）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）で任意の\(d\)-要素たちベーシス（基底）を持つものおよび当該モジュール（加群）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）に対して、当該ジェネラルリニア（線形）グループ（群）からインバーティブル（可逆）\(d \times d\)リング（環）マトリックス（行列）たちのグループ（群）の上への、当該ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のスペシャルリニア（線形）グループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( GL (V)\): \(= V \text{ のジェネラルリニア（線形）グループ（群） }\)
\( g\): \(: GL (V) \to M_d (F)^{\times}\), \(= \text{ カノニカル（正典）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)、任意のモジュール（加群）で任意の\(d\)-要素たちベーシス（基底）を持つものおよび当該モジュール（加群）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）に対して、当該ジェネラルリニア（線形）グループ（群）からインバーティブル（可逆）\(d \times d\)リング（環）マトリックス（行列）たちのグループ（群）の上への、当該ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題内で定義されている、\(V\)に対する任意のベーシス（基底）に関して
\(*SL (V)\): \(= \{f \in GL (V) \vert det g (f) = 1\}\), \(\in \{GL (V) \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
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コンディションたち:
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2: 注
\(SL (V)\)は、\(V\)に対するベーシス（基底）の選択に依存するかのように見えるが、本当はそうでない、なぜなら、\(V\)に対する任意の他のベーシス（基底）に対して、\(g (f)\)は\(N g (f) N^{- 1}\)となる、モジュール（加群）で任意の同一ファイナイト（有限）カーディナリティ（濃度）の任意の\(2\)個のベーシス（基底）たちを持つ任意のものおよび任意のモジュール（加群）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、当該ベーシス（基底）たちの変更に関する当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、そして、\(det (N g (f) N^{- 1}) = det N det g (f) det N^{- 1}\)、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方にて、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）たちのプロダクト（積）のデターミナント（行列式）は当該マトリックス（行列）たちのデターミナント（行列式）たちのプロダクト（積）であるという命題によって、\(= det N 1 det N^{- 1} = det N det N^{- 1} = det (N N^{- 1}) = det I = 1\)、したがって、もしも、あるベーシス（基底）に関して\(f \in SL (V)\)である場合、任意のベーシス（基底）に関して\(f \in SL (V)\)である。
それは本当に\(GL (V)\)のあるサブグループ（部分群）である、なぜなら、各要素たち\(f_1, f_2 \in SL (M)\)に対して、\(det g (f_2 \circ f_1) = det (g (f_2) g (f_1))\)、なぜなら、\(g\)はある'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、\(= det g (f_2) det g (f_1)\)、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方にて、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）たちのプロダクト（積）のデターミナント（行列式）は当該マトリックス（行列）たちのデターミナント（行列式）たちのプロダクト（積）であるという命題によって、\(= 1 1 = 1\)、そして、\(det g ({f_1}^{- 1}) = det g (f_1)^{- 1}\)、なぜなら、\(g\)はある'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、\(= 1\)、なぜなら、\(1 = det I = det (g (f_1) g (f_1)^{- 1}) = det g (f_1) det g (f_1)^{- 1} = 1 det g (f_1)^{- 1} = det g (f_1)^{- 1}\)、そして、任意のグループ（群）に対して、任意の非空サブセット（部分集合）はあるサブグループ（部分群）である、もしも、それはオペレーションおよびインバージョン（逆算）下に閉じている場合、そしてその場合に限って、という命題が適用される。
本概念は、任意のベクトルたちスペース（空間）\(V\)に対してのみ定義されている、一般的なモジュール（加群）たちに対してではなく、なぜなら、\(SL (V)\)があるサブグループ（部分群）であることの当該証明は、\(F\)がコミュータティブ（可換）であることに依存しており、\(SL (V)\)がベーシス（基底）の選択から独立していることの当該証明は、\(V\)の全てのベーシス（基底）たちは同一カーディナリティ（濃度）を持っていることに依存している。
\(V\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要がある、なぜなら、私たちは、'デターミナント（行列式）'ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）マトリックス（行列）たちに対してのみ定義した。
