グループ（群）、サブグループ（部分群）、\(2\)個のサブセット（部分集合）たちに対して、もしも、第1サブセット（部分集合）と第2サブセット（部分集合）とサブグループ（部分群）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）が空である場合、第1サブセット（部分集合）とサブグループ（部分群）のプロダクト（積）と第2サブセット（部分集合）とサブグループ（部分群）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）は空であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）プロダクト（積）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちに対して、もしも、第1サブセット（部分集合）と第2サブセット（部分集合）と当該サブグループ（部分群）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）が空である場合、第1サブセット（部分集合）と当該サブグループ（部分群）のプロダクト（積）と第2サブセット（部分集合）と当該サブグループ（部分群）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）は空であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq G'\)
\(S_2\): \(\subseteq G'\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(S_1 \cap (S_2 G) = \emptyset\)
\(\implies\)
\((S_1 G) \cap (S_2 G) = \emptyset\)
)
\(\land\)
(
\(S_1 \cap (G S_2) = \emptyset\)
\(\implies\)
\((G S_1) \cap (G S_2) = \emptyset\)
)
//
2: 注
\((S_1 G) \cap S_2 = \emptyset\)も\((S_1 G) \cap (S_2 G) = \emptyset\)を含意する、なぜなら、\(S_2 \cap (S_1 G) = \emptyset\)、それが含意するのは、\((S_2 G) \cap (S_1 G) = \emptyset\)、それが含意するのは、\((S_1 G) \cap (S_2 G) = \emptyset\)。
\((G S_1) \cap S_2 = \emptyset\)も\((G S_1) \cap (G S_2) = \emptyset\)を含意する、なぜなら、\(S_2 \cap (G S_1) = \emptyset\)、それが含意するのは、\((G S_2) \cap (G S_1) = \emptyset\)、それが含意するのは、\((G S_1) \cap (G S_2) = \emptyset\)。
\(S_1 \cap (S_2 G) = \emptyset\)は\((S_1 G) \cap S_2 = \emptyset\)も含意する、任意のグループ（群）、任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たち、任意のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）に対して、もしも、第1サブセット（部分集合）と第2サブセット（部分集合）と当該シンメトリック（対称）サブセット（部分集合）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）が空である場合、第1サブセット（部分集合）と当該シンメトリック（対称）サブセット（部分集合）のプロダクト（積）と第2サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は空であるという命題のある特別なケースとして、なぜなら、任意のサブグループ（部分群）はシンメトリック（対称）である、グループ（群）のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）の定義に対する"注"内に言及されているとおり。
\(S_1 \cap (G S_2) = \emptyset\)は\((G S_1) \cap S_2 = \emptyset\)も含意する、同様に。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that \(S_1 \cap (S_2 G) = \emptyset\); Step 2: suppose that there was a \(g \in (S_1 G) \cap (S_2 G)\), and find a contradiction; Step 3: suppose that \(S_1 \cap (G S_2) = \emptyset\); Step 4: suppose that there was a \(g \in (G S_1) \cap (G S_2)\), and find a contradiction.
Step 1:
Let us suppose that \(S_1 \cap (S_2 G) = \emptyset\).
Step 2:
Let us suppose that there was a \(g \in (S_1 G) \cap (S_2 G)\).
\(g \in S_1 G\), so, \(g = s_1 g_1\) where \(s_1 \in S_1\) and \(g_1 \in G\).
\(g \in S_2 G\), so, \(g = s_2 g_2\) where \(s_2 \in S_2\) and \(g_2 \in G\).
\(s_1 g_1 = g = s_2 g_2\), so, \(s_1 = s_2 g_2 {g_1}^{-1}\).
But as \(G\) was a subgroup, \(g_2 {g_1}^{-1} \in G\).
So, \(s_1 \in S_1 \cap (S_2 G)\), a contradiction against \(S_1 \cap (S_2 G) = \emptyset\).
So, there is no \(g \in (S_1 G) \cap (S_2 G)\).
So, \((S_1 G) \cap (S_2 G) = \emptyset\).
Step 3:
Let us suppose that \(S_1 \cap (G S_2) = \emptyset\).
Step 4:
Let us suppose that there was a \(g \in (G S_1) \cap (G S_2)\).
\(g \in G S_1\), so, \(g = g_1 s_1\) where \(s_1 \in S_1\) and \(g_1 \in G\).
\(g \in G S_2\), so, \(g = g_2 s_2\) where \(s_2 \in S_2\) and \(g_2 \in G\).
\(g_1 s_1 = g = g_2 s_2\), so, \(s_1 = {g_1}^{-1} g_2 s_2\).
But as \(G\) was a subgroup, \({g_1}^{-1} g_2 \in G\).
So, \(s_1 \in S_1 \cap (G S_2)\), a contradiction against \(S_1 \cap (G S_2) = \emptyset\).
So, there is no \(g \in (G S_1) \cap (G S_2)\).
So, \((G S_1) \cap (G S_2) = \emptyset\).
