グループ（群）、\(2\)個の要素たち、サブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）の要素たちによるコセット（剰余類）たちは同一である、もしも、要素のインバース（逆）と要素のプロダクト（積）がサブグループ（部分群）内に包含されている場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意の\(2\)個の要素たち、任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）の当該要素たちによる左または右コセット（剰余類）たちは同一である、もしも、ある要素のインバース（逆）と他方要素のプロダクト（積）またはある要素と他方要素のインバース（逆）のプロダクト（積）が当該サブグループ（部分群）内に包含されている場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(g'_1\): \(\in G'\)
\(g'_2\): \(\in G'\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(g'_1 G = g'_2 G\)
\(\iff\)
\({g'_1}^{-1} g'_2 \in G\)
)
\(\land\)
(
\(G g'_1 = G g'_2\)
\(\iff\)
\(g'_1 {g'_2}^{-1} \in G\)
)
//
2: 注
\({g'_1}^{-1} g'_2 \in G\)は\({g'_2}^{-1} g'_1 \in G\)で置き換えることができる、なぜなら、\(g'_1, g'_2\)の順序は問題でない。
同様に、\(g'_1 {g'_2}^{-1} \in G\)は\(g'_2 {g'_1}^{-1} \in G\)で置き換えることができる。
しかし、\({g'_1}^{-1} g'_2 \in G\)を\(g'_1 {g'_2}^{-1} \in G\)で置き換えることはできず、\(g'_1 {g'_2}^{-1} \in G\)を\({g'_1}^{-1} g'_2 \in G\)で置き換えることはできない。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that \(g'_1 G = g'_2 G\); Step 2: see that \({g'_1}^{-1} g'_2 \in G\); Step 3: suppose that \({g'_1}^{-1} g'_2 \in G\); Step 4: see that \(g'_1 G = g'_2 G\); Step 5: suppose that \(G g'_1 = G g'_2\); Step 6: see that \(g'_1 {g'_2}^{-1} \in G\); Step 7: suppose that \(g'_1 {g'_2}^{-1} \in G\); Step 8: see that \(G g'_1 = G g'_2\).
Step 1:
Let us suppose that \(g'_1 G = g'_2 G\).
Step 2:
\(g'_2 1 = g'_1 g\) for a \(g \in G\).
So, \({g'_1}^{-1} g'_2 = g \in G\).
Step 3:
Let us suppose that \({g'_1}^{-1} g'_2 \in G\).
Step 4:
\({g'_1}^{-1} g'_2 = g\) where \(g \in G\).
So, \(g'_2 = g'_1 g \in g'_1 G\).
\(g'_2 G = g'_1 G\), by the proposition that with respect to any subgroup, the coset by any element of the group equals a coset if and only if the element is a member of the latter coset, whether they are left cosets or right cosets.
Step 5:
Let us suppose that \(G g'_1 = G g'_2\).
Step 6:
\(1 g'_1 = g g'_2\) for a \(g \in G\).
So, \(g'_1 {g'_2}^{-1} = g \in G\).
Step 7:
Let us suppose that \(g'_1 {g'_2}^{-1} \in G\).
Step 8:
\(g'_1 {g'_2}^{-1} = g\) where \(g \in G\).
So, \(g'_1 = g g'_2 \in G g'_2\).
\(G g'_1 = G g'_2\), by the proposition that with respect to any subgroup, the coset by any element of the group equals a coset if and only if the element is a member of the latter coset, whether they are left cosets or right cosets.
