クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）の定義
話題
About: アルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）上方のアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \mathbb{R}\): \(= \text{ 全てのリニアナンバー（実数）たちフィールド（体） }\)
\(*\mathbb{H}\): \(= \{a + b i + c j + d k \vert a, b, c, d, \in \mathbb{R}\}\)、ここで、\(i, j, k\)はシンボルたちである、\(\in \{ \text{ 全てのディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）たち } \}\)、下に指定される\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）ストラクチャー（構造）およびマルチプリケーション（乗法）を持って
//
コンディションたち:
\(\forall a + b i + c j + d k, a' + b' i + c' j + d' k \in \mathbb{H} ((a + b i + c j + d k) + (a' + b' i + c' j + d' k) = (a + a') + (b + b') i + (c + c') j + (d + d') k) \land \forall r \in \mathbb{R} (r (a + b i + c j + d k) = (r a) + (r b) i + (r c) j + (r d) k)\)
\(\land\)
\((a + b i + c j + d k) (a' + b' i + c' j + d' k) = (a a' - b b' - c c' - d d') + (a b' + b a' + c d' - d c') i + (a c' - b d' + c a' + d b') j + (a d' + b c' - c b' + d a') k\)
//
2: 注
\(\mathbb{H}\)は本当にある\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
1) \(\forall a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k, a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k \in \mathbb{H} ((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k) \in \mathbb{H})\)（アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: \((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i + (c_1 + c_2) j + (d_1 + d_2) k \in \mathbb{H}\)。
2) \(\forall a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k, a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k \in \mathbb{H} ((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k) = (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k) + (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k))\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i + (c_1 + c_2) j + (d_1 + d_2) k = (a_2 + a_1) + (b_2 + b_1) i + (c_2 + c_1) j + (d_2 + d_1) k = (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k) + (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k))\)。
3) \(\forall a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k, a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k, a_3 + b_3 i + c_3 j + d_3 k \in \mathbb{H} (((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k)) + (a_3 + b_3 i + c_3 j + d_3 k) = (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + ((a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k) + (a_3 + b_3 i + c_3 j + d_3 k)))\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k)) + (a_3 + b_3 i + c_3 j + d_3 k) = ((a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i + (c_1 + c_2) j + (d_1 + d_2) k) + (a_3 + b_3 i + c_3 j + d_3 k) = ((a_1 + a_2) + a_3) + ((b_1 + b_2) + b_3) i + ((c_1 + c_2) + c_3) j + ((d_1 + d_2) + d_3) k = (a_1 + (a_2 + a_3)) + (b_1 + (b_2 + b_3)) i + (c_1 + (c_2 + c_3)) j + (d_1 + (d_2 + d_3)) k = (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + ((a_2 + a_3) + (b_2 + b_3) i + (c_2 + c_3) j + (d_2 + d_3) k) = (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + ((a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k) + (a_3 + b_3 i + c_3 j + d_3 k))\)。
4) \(\exists 0 \in \mathbb{H} (\forall a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k \in \mathbb{H} (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k + 0 = a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k))\)（0要素の存在）: \(0 := 0 + 0 i + 0 j + 0 k \in \mathbb{H}\)、そして、\(a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k + 0 = a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k + 0 + 0 i + 0 j + 0 k = (a_1 + 0) + (b_1 + 0) i + (c_1 + 0) j + (d_1 + 0) k = a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k\)。
5) \(\forall a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k \in \mathbb{H} (\exists v' \in \mathbb{H} (v' + a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k = 0))\)（インバース（逆）要素の存在）: \(v' := - a_1 + (- b_1) i + (- c_1) j + (- d_1) k \in \mathbb{H}\), and \(v' + (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) = - a_1 + (- b_1) i + (- c_1) j + (- d_1) k + (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) = (- a_1 + a_1) + (- b_1 + b_1) i + (- c_1 + c_1) j + (- d_1 + d_1) k = 0 + 0 i + 0 j + 0 k = 0\)。
6) \(\forall a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k \in \mathbb{H}, \forall r \in \mathbb{R} (r . (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) \in \mathbb{H})\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: \(r (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) = (r a_1) + (r b_1) i + (r c_1) j + (r d_1) k \in \mathbb{H}\)。
7) \(\forall a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k \in \mathbb{H}, \forall r_1, r_2 \in \mathbb{R} ((r_1 + r_2) (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) = r_1 (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + r_2 (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k))\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \((r_1 + r_2) (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) = (r_1 + r_2) a_1 + ((r_1 + r_2) b_1) i + ((r_1 + r_2) c_1) j + ((r_1 + r_2) d_1) k = (r_1 a_1 + r_2 a_1) + (r_1 b_1 + r_2 b_1) i + (r_1 c_1 + r_2 c_1) j + (r_1 d_1 + r_2 d_1) k = (r_1 a_1 + (r_1 b_1) i + (r_1 c_1) j + (r_1 d_1) k) + (r_2 a_1 + (r_2 b_1) i + (r_2 c_1) j + (r_2 d_1) k) = r_1 (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + r_2 (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k)\)。
8) \(\forall a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k, a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k \in \mathbb{H}, \forall r \in \mathbb{R} (r ((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k)) = r (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + r (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k))\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: \(r ((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k)) = r ((a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i + (c_1 + c_2) j + (d_1 + d_2) k) = r (a_1 + a_2) + (r (b_1 + b_2)) i + (r (c_1 + c_2)) j + (r (d_1 + d_2)) k = (r a_1 + r a_2) + (r b_1 + r b_2) i + (r c_1 + r c_2) j + (r d_1 + r d_2) k = (r a_1 + (r b_1) i + (r c_1) j + (r d_1) k) + (r a_2 + (r b_2) i + (r c_2) j + (r d_2) k) = r (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + r (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k)\)。
9) \(\forall a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k \in \mathbb{H}, \forall r_1, r_2 \in \mathbb{R} ((r_1 r_2) (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) = r_1 (r_2 (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k)))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \((r_1 r_2) (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) = r_1 r_2 a_1 + (r_1 r_2 b_1) i + (r_1 r_2 c_1) j + (r_1 r_2 d_1) k = r_1 ((r_2 a_1) + (r_2 b_1) i + (r_2 c_1) j + (r_2 d_1) k) = r_1 (r_2 (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k))\)。
10) \(\forall a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k \in \mathbb{H} (1 (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) = a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k)\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: \(1 (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) = 1 a_1 + (1 b_1) i + (1 c_1) j + (1 d_1) k = a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k\)。
当該マルチプリケーション（乗法）は、ある\(\mathbb{R}\)アルジェブラ（多元環）であるためのコンディションたちを満たすことを見よう。
\(r_1, r_2, r'_1, r'_2 \in \mathbb{R}\)および\(a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k, a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k, a'_1 + b'_1 i + c'_1 j + d'_1 k, a'_2 + b'_2 i + c'_2 j + d'_2 k \in \mathbb{H}\)を任意のものとしよう。
\((r_1 (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) + r_2 (a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k)) \bullet (r'_1 (a'_1 + b'_1 i + c'_1 j + d'_1 k) + r'_2 (a'_2 + b'_2 i + c'_2 j + d'_2 k)) = (r_1 a_1 + r_2 a_2 + (r_1 b_1 + r_2 b_2) i + (r_1 c_1 + r_2 c_2) j + (r_1 d_1 + r_2 d_2) k) \bullet (r'_1 a'_1 + r'_2 a'_2 + (r'_1 b'_1 + r'_2 b'_2) i + (r'_1 c'_1 + r'_2 c'_2) j + (r'_1 d'_1 + r'_2 d'_2) k) = ((r_1 a_1 + r_2 a_2) (r'_1 a'_1 + r'_2 a'_2) - (r_1 b_1 + r_2 b_2) (r'_1 b'_1 + r'_2 b'_2) - (r_1 c_1 + r_2 c_2) (r'_1 c'_1 + r'_2 c'_2) - (r_1 d_1 + r_2 d_2) (r'_1 d'_1 + r'_2 d'_2)) + ((r_1 a_1 + r_2 a_2) (r'_1 b'_1 + r'_2 b'_2) + (r_1 b_1 + r_2 b_2) (r'_1 a'_1 + r'_2 a'_2) + (r_1 c_1 + r_2 c_2) (r'_1 d'_1 + r'_2 d'_2) - (r_1 d_1 + r_2 d_2)(r'_1 c'_1 + r'_2 c'_2)) i + ((r_1 a_1 + r_2 a_2)(r'_1 c'_1 + r'_2 c'_2) - (r_1 b_1 + r_2 b_2)(r'_1 d'_1 + r'_2 d'_2) + (r_1 c_1 + r_2 c_2)(r'_1 a'_1 + r'_2 a'_2) + (r_1 d_1 + r_2 d_2)(r'_1 b'_1 + r'_2 b'_2)) j + ((r_1 a_1 + r_2 a_2)(r'_1 d'_1 + r'_2 d'_2) + (r_1 b_1 + r_2 b_2)(r'_1 c'_1 + r'_2 c'_2) - (r_1 c_1 + r_2 c_2)(r'_1 b'_1 + r'_2 b'_2) + (r_1 d_1 + r_2 d_2)(r'_1 a'_1 + r'_2 a'_2)) k\)。
\(= (r_1 r'_1 (a_1 a'_1 - b_1 b'_1 - c_1 c'_1 - d_1 d'_1) + r_1 r'_2 (a_1 a'_2 - b_1 b'_2 - c_1 c'_2 - d_2 d'_1) + r_2 r'_1 (a_2 a'_1 - b_2 b'_1 - c_2 c'_1 - d_2 d'_1) + r_2 r'_2 (a_2 a'_2 - b_2 b'_2 - c_2 c'_2 - d_2 d'_2)) + (r_1 r'_1 (a_1 b'_1 + b_1 a'_1 + c_1 d'_1 - d_1 c'_1) + r_1 r'_2 (a_1 b'_2 + b_1 a'_2 + c_1 d'_2 - d_1 c'_2) + r_2 r'_1 (a_2 b'_1 + b_2 a'_1 + c_2 d'_1 - d_2 c'_1) + r_2 r'_2 (a_2 b'_2 + b_2 a'_2 + c_2 d'_2 - d_2 c'_2)) i + (r_1 r'_1 (a_1 c'_1 - b_1 d'_1 + c_1 a'_1 + d_1 b'_1) + r_1 r'_2 (a_1 c'_2 - b_1 d'_2 + c_1 a'_2 + d_1 b'_2) + r_2 r'_1 (a_2 c'_1 + b_2 d'_1 + c_2 a'_1 + d_2 b'_1) + r_2 r'_2 (a_2 c'_2 - b_2 d'_2 + c_2 a'_2 + d_2 b'_2)) j + (r_1 r'_1 (a_1 d'_1 + b_1 c'_1 - c_1 b'_1 + d_1 a'_1) + r_1 r'_2 (a_1 d'_2 + b_1 c'_2 - c_1 b'_2 + d_1 a'_2) + r_2 r'_1 (a_2 d'_1 + b_2 c'_1 - c_2 b'_1 + d_2 a'_1) + r_2 r'_2 (a_2 d'_2 + b_2 c'_2 - c_2 b'_2 + d_2 a'_2)) k\)。
\(= r_1 r'_1 (a_1 a'_1 - b_1 b'_1 - c_1 c'_1 - d_1 d'_1 + (a_1 b'_1 + b_1 a'_1 + c_1 d'_1 - d_1 c'_1) i + (a_1 c'_1 - b_1 d'_1 + c_1 a'_1 + d_1 b'_1) j + (a_1 d'_1 + b_1 c'_1 - c_1 b'_1 + d_1 a'_1) k) + r_1 r'_2 (a_1 a'_2 - b_1 b'_2 - c_1 c'_2 - d_2 d'_1 + (a_1 b'_2 + b_1 a'_2 + c_1 d'_2 - d_1 c'_2) i + (a_1 c'_2 - b_1 d'_2 + c_1 a'_2 + d_1 b'_2) j + (a_1 d'_2 + b_1 c'_2 - c_1 b'_2 + d_1 a'_2) k) + r_2 r'_1 (a_2 a'_1 - b_2 b'_1 - c_2 c'_1 - d_2 d'_1 + (a_2 b'_1 + b_2 a'_1 + c_2 d'_1 - d_2 c'_1) i + (a_2 c'_1 + b_2 d'_1 + c_2 a'_1 + d_2 b'_1) j + (a_2 d'_1 + b_2 c'_1 - c_2 b'_1 + d_2 a'_1) k) + r_2 r'_2 (a_2 a'_2 - b_2 b'_2 - c_2 c'_2 - d_2 d'_2 + (a_2 b'_2 + b_2 a'_2 + c_2 d'_2 - d_2 c'_2) i + (a_2 c'_2 - b_2 d'_2 + c_2 a'_2 + d_2 b'_2) j + (a_2 d'_2 + b_2 c'_2 - c_2 b'_2 + d_2 a'_2) k)\)。
\(= (r_1 r'_1) ((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) \bullet (a'_1 + b'_1 i + c'_1 j + d'_1 k)) + (r_1 r'_2) ((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) \bullet (a'_2 + b'_2 i + c'_2 j + d'_2 k)) + (r_2 r'_1) ((a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k) \bullet (a'_1 + b'_1 i + c'_1 j + d'_1 k)) + (r_2 r'_2) ((a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k) \bullet (a'_2 + b'_2 i + c'_2 j + d'_2 k))\)。
したがって、\(\mathbb{H}\)はある\(\mathbb{R}\)アルジェブラ（多元環）である。
\(\mathbb{H}\)はマルチプリケーション（乗法）たちにおいてアソシアティブ（結合的）であることを見よう。
\(((a + b i + c j + d k) (a' + b' i + c' j + d' k)) (a'' + b'' i + c'' j + d'' k) = (a + b i + c j + d k) ((a' + b' i + c' j + d' k) (a'' + b'' i + c'' j + d'' k))\)？
当該左辺および当該右辺のリアル（実）コンポーネントたちを比較しよう。
当該左辺コンポーネントは\((a a' - b b' - c c' - d d') a'' - (a b' + b a' + c d' - d c') b'' - (a c' - b d' + c a' + d b') c'' - (a d' + b c' - c b' + d a') d''\)である。
当該右辺コンポーネントは\(a (a' a'' - b' b'' - c' c'' - d' d'') - b (a' b'' + b' a'' + c' d'' - d' c'') - c (a' c'' - b' d'' + c' a'' + d' b'') - d (a' d'' + b' c'' - c' b'' + d' a'') = a'' (a a' - b b' - c c' - d d') - b'' (a b' + b a' + c d' - d c') - c'' (a c' - b d' + c a' + d b') - d'' (a d' + b c' - c b' + d a')\)である。
したがって、当該左辺コンポーネントは当該右辺コンポーネントに等しい。
当該左辺および当該右辺の\(i\)コンポーネントたちを比較しよう。
当該左辺コンポーネントは\((a a' - b b' - c c' - d d') b'' + (a b' + b a' + c d' - d c') a'' + (a c' - b d' + c a' + d b') d'' - (a d' + b c' - c b' + d a') c''\)である。
当該右辺コンポーネントは\(a (a' b'' + b' a'' + c' d'' - d' c'') + b (a' a'' - b' b'' - c' c'' - d' d'') + c (a' d'' + b' c'' - c' b'' + d' a'') - d (a' c'' - b' d'' + c' a'' + d' b'') = b'' (a a' - b b' - c c' - d d') + a'' (a b' + b a' + c d' - d c') + d'' (a c' - b d' + c a' + d b') - c'' (a d' + b c' - c b' + d a')\)である。
したがって、当該左辺コンポーネントは当該右辺コンポーネントに等しい。
当該左辺および当該右辺の\(j\)コンポーネントたちを比較しよう。
当該左辺コンポーネントは\((a a' - b b' - c c' - d d') c'' - (a b' + b a' + c d' - d c') d'' + (a c' - b d' + c a' + d b') a'' + (a d' + b c' - c b' + d a') b''\)である。
当該右辺コンポーネントは\(a (a' c'' - b' d'' + c' a'' + d' b'') - b (a' d'' + b' c'' - c' b'' + d' a'') + c (a' a'' - b' b'' - c' c'' - d' d'') + d (a' b'' + b' a'' + c' d'' - d' c'') = c'' (a a' - b b' - c c' - d d') - d'' (a b' + b a' + c d' - d c') + a'' (a c' - b d' + c a' + d b') + b'' (a d' + b c' - c b' + d a')\)である。
したがって、当該左辺コンポーネントは当該右辺コンポーネントに等しい。
当該左辺および当該右辺の\(k\)コンポーネントたちを比較しよう。
当該左辺コンポーネントは\((a a' - b b' - c c' - d d') d'' + (a b' + b a' + c d' - d c') c'' - (a c' - b d' + c a' + d b') b'' + (a d' + b c' - c b' + d a') a''\)である。
当該右辺コンポーネントは\(a (a' d'' + b' c'' - c' b'' + d' a'') + b (a' c'' - b' d'' + c' a'' + d' b'') - c (a' b'' + b' a'' + c' d'' - d' c'') + d (a' a'' - b' b'' - c' c'' - d' d'') = d'' (a a' - b b' - c c' - d d') + c'' (a b' + b a' + c d' - d c') - b'' (a c' - b d' + c a' + d b') + a'' (a d' + b c' - c b' + d a')\)である。
したがって、当該左辺コンポーネントは当該右辺コンポーネントに等しい。
したがって、イエス、\(((a + b i + c j + d k) (a' + b' i + c' j + d' k)) (a'' + b'' i + c'' j + d'' k) = (a + b i + c j + d k) ((a' + b' i + c' j + d' k) (a'' + b'' i + c'' j + d'' k))\)。
したがって、\(\mathbb{H}\)はマルチプリケーション（乗法）たちにおいてアソシアティブ（結合的）である。
\(\mathbb{H}\)はマルチプリケーション（乗法）におけるあるアイデンティティ（単位）要素を持つ。
実のところ、それは、\(1\)である、なぜなら、\(1 (a + b i + c j + d k) = 1 a + 1 b i + 1 c j + 1 d k = a + b i + c j + d k\)および\((a + b i + c j + d k) 1 = a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k = a + b i + c j + d k\)。
それは、ユニークなアイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、各\(a \in \mathbb{R}\)に対して\((a' + b' i + c' j + d' k) (a) = a\)であることは、\(a' a = a\)、\(b' a = 0\)、\(c' a = 0\)、\(d' a = 0\)であることを含意する、それが含意するのは、\(a' = 1\)、\(b' = 0\)、\(c' = 0\)、\(d' = 0\)。
各非ゼロ\(a + b i + c j + d k \in \mathbb{H}\)がマルチプリケーション（乗法）におけるあるインバース（逆）を持つことを見よう。
実のところ、それは、\(1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) (a - b i - c j - d k)\)である、なぜなら、\((a + b i + c j + d k) 1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) (a - b i - c j - d k) = 1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) (a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + (- a b + b a - c d + d c) i + (- a c + b d + c a - d b) j + (- a d - b c + c b + d a) k) = 1\)および\(1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) (a - b i - c j - d k) (a + b i + c j + d k) = 1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) (a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + (a b - b a - c d + d c) i + (a c + b d - c a - d b) j + (a d - b c + c b - d a) k) = 1\)。
当該インバース（逆）はユニークである、なぜなら、もしも、ある\(v \in \mathbb{H}\)に対して\(v (a + b i + c j + d k) = 1\)である場合、\(v (a + b i + c j + d k) 1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) (a - b i - c j - d k) = 1 1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) (a - b i - c j - d k)\)、しかし、左辺は、\(v ((a + b i + c j + d k) 1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) (a - b i - c j - d k)) = v 1 = v\)であり、右辺は、\(1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) (a - b i - c j - d k)\)である、したがって、\(v = 1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) (a - b i - c j - d k)\)。
したがって、\(\mathbb{H}\)はあるユニタリディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）である。
したがって、\(\mathbb{H}\)はあるリング（環）である。
