リング（環）に対して、リング（環）上方のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ 上方 } n_1 \times n_2 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ 上方 } n_2 \times n_3 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
\(M_3\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ 上方 } n_3 \times n_4 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち: \((M_1 M_2) M_3 = M_1 (M_2 M_3)\)
//
2: 注
したがって、アソシアティブ（結合的）であるのは、リアル（実）またはコンプレックス（複素）または任意のフィールド（体）\(R\)に対するだけでなく、任意のリング（環）\(R\)に対して常にである。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(((M_1 M_2) M_3)^j_n = (M_1 (M_2 M_3))^j_n\).
Step 1:
\(((M_1 M_2) M_3)^j_n = \sum_m ((\sum_l {M_1}^j_l {M_2}^l_m) {M_3}^m_n) = \sum_m (\sum_l ({M_1}^j_l {M_2}^l_m {M_3}^m_n))\), by the multiplication distributability with respect to addition of \(R\).
\((M_1 (M_2 M_3))^j_n = \sum_l ({M_1}^j_l \sum_m ({M_2}^l_m {M_3}^m_n)) = \sum_l (\sum_m ({M_1}^j_l {M_2}^l_m {M_3}^m_n))\), by the multiplication distributability with respect to addition of \(R\).
\(\sum_m (\sum_l ({M_1}^j_l {M_2}^l_m {M_3}^m_n)) = \sum_l (\sum_m ({M_1}^j_l {M_2}^l_m {M_3}^m_n))\), because each term of the left hand side appears only once as a term in the right hand side and each term of the right hand side appears only once as a term in the left hand side, while addition in \(R\) is commutative.
So, \(((M_1 M_2) M_3)^j_n = (M_1 (M_2 M_3))^j_n\).
So, \((M_1 M_2) M_3 = M_1 (M_2 M_3)\).
