2024年12月8日日曜日

883: フィールド（体）上方のアルジェブラ（多元環）

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フィールド（体）上方のアルジェブラ（多元環）の定義

話題


About: フィールド（体）上方のアルジェブラ（多元環）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、フィールド（体）上方のアルジェブラ（多元環）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
∗A: ∈{F 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }で、下で指定される任意のマルチプリケーション（乗法）∙:A×A→Aを持つもの
//

コンディションたち:
∀r1,r2,r1′,r2′∈F,∀v1,v2,v1′,v2′∈A((r1v1+r2v2)∙(r1′v1′+r2′v2′)=(r1r1′)(v1∙v1′)+(r1r2′)(v1∙v2′)+(r2r1′)(v2∙v1′)+(r2r2′)(v2∙v2′))
//

2: 注


言い換えると、∙はバイリニア（2重線形）である。

不可避に、各v∈Aに対して、v∙0=0∙v=0、なぜなら、v∙0=(v+0)∙(0+0)=(1v+0v)∙(0v+0v)=(10)(v∙v)+(10)(v∙v)+(00)(v∙v)+(00)(v∙v)=0(v∙v)+0(v∙v)+0(v∙v)+0(v∙v)=0+0+0+0=0および0∙v=(0+0)∙(v+0)=(0v+0v)∙(1v+0v)=(01)(v∙v)+(00)(v∙v)+(01)(v∙v)+(00)(v∙v)=0(v∙v)+0(v∙v)+0(v∙v)+0(v∙v)=0+0+0+0=0。

したがって、本定義の要件は、以下の条件たちセット（集合）に等しい: 1) (v1+v2)∙v1′=v1∙v1′+v2∙v1′; 2) v1∙(v1′+v2′)=v1∙v1′+v1∙v2′; 3) r1v1∙r1′v1′=(r1r1′)(v1∙v1′): 本命題の条件を仮定して、1) (v1+v2)∙v1′=(1v1+1v2)∙(1v1′+0)=1v1∙v1′+1v1∙0+1v2∙v1′+1v2∙0=1v1∙v1′+0+1v2∙v1′+0=v1∙v1′+v2∙v1′; 2) v1∙(v1′+v2′)=(1v1+0)∙(1v1′+1v2′)=1v1∙v1′+1v1∙v2′+0∙1v1′+0∙1v2′=1v1∙v1′+1v1∙v2′+0+0=v1∙v1′+v1∙v2′; 3) r1v1∙r1′v1′=(r1v1+0)∙(r1′v1′+0)=(r1r1′)(v1∙v1′)+r1v1∙0+0∙r1′v1′+0∙0=(r1r1′)(v1∙v1′)+0+0+0=(r1r1′)(v1∙v1′); 条件たち1)、2)、3)を仮定して、(r1v1+r2v2)∙(r1′v1′+r2′v2′)=r1v1∙(r1′v1′+r2′v2′)+r2v2∙(r1′v1′+r2′v2′)=r1v1∙r1′v1′+r1v1∙r2′v2′+r2v2∙r1′v1′+r2v2∙r2′v2′=(r1r1′)(v1∙v1′)+(r1r2′)(v1∙v2′)+(r2r1′)(v2∙v1′)+(r2r2′)(v2∙v2′)。

本条件は、マルチプリケーション（乗法）のアソシアティビティ（結合性）を要求しない、それを別の定義は要求する。その理由は、もしも、アソシアティビティ（結合性）が要求されたら、"リーアルジェブラ（多元環）"は間違った名称となろう。

あるフィールド（体）上方のあるアルジェブラ（多元環）はリング（環）ではないかもしれない、なぜなら、アソシアティビティ（結合性）は成立しないかもしれず、マルチプリカティブアイデンティティ（乗法単位要素）1はその中に存在しないかもしれない。

アソシアティビティ（結合性）を満たす任意のアルジェブラ（多元環）は"アソシアティブ（結合性）アルジェブラ（多元環）"と呼ばれ、それを一部の人々は"アルジェブラ（多元環）"と呼ぶ。

1を持つ任意のアルジェブラ（多元環）は"ユニタリアルジェブラ（多元環）"と呼ばれる。

任意のユニタリアルジェブラ（多元環）はリング（環）である。

参考資料
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