フィールド（体）上方のアルジェブラ（多元環）の定義
話題
About: フィールド（体）上方のアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、フィールド（体）上方のアルジェブラ（多元環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(*A\): \(\in \{F \text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、下で指定される任意のマルチプリケーション（乗法）\(\bullet: A \times A \to A\)を持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall r_1, r_2, r'_1, r'_2 \in F, \forall v_1, v_2, v'_1, v'_2 \in A ((r_1 v_1 + r_2 v_2) \bullet (r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2) = (r_1 r'_1) (v_1 \bullet v'_1) + (r_1 r'_2) (v_1 \bullet v'_2) + (r_2 r'_1) (v_2 \bullet v'_1) + (r_2 r'_2) (v_2 \bullet v'_2))\)
//
2: 注
言い換えると、\(\bullet\)はバイリニア（2重線形）である。
不可避に、各\(v \in A\)に対して、\(v \bullet 0 = 0 \bullet v = 0\)、なぜなら、\(v \bullet 0 = (v + 0) \bullet (0 + 0) = (1 v + 0 v) \bullet (0 v + 0 v) = (1 0) (v \bullet v) + (1 0) (v \bullet v) + (0 0) (v \bullet v) + (0 0) (v \bullet v) = 0 (v \bullet v) + 0 (v \bullet v) + 0 (v \bullet v) + 0 (v \bullet v) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0\)および\(0 \bullet v = (0 + 0) \bullet (v + 0) = (0 v + 0 v) \bullet (1 v + 0 v) = (0 1) (v \bullet v) + (0 0) (v \bullet v) + (0 1) (v \bullet v) + (0 0) (v \bullet v) = 0 (v \bullet v) + 0 (v \bullet v) + 0 (v \bullet v) + 0 (v \bullet v) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0\)。
したがって、本定義の要件は、以下の条件たちセット（集合）に等しい: 1) \((v_1 + v_2) \bullet v'_1 = v_1 \bullet v'_1 + v_2 \bullet v'_1\); 2) \(v_1 \bullet (v'_1 + v'_2) = v_1 \bullet v'_1 + v_1 \bullet v'_2\); 3) \(r_1 v_1 \bullet r'_1 v'_1 = (r_1 r'_1) (v_1 \bullet v'_1)\): 本命題の条件を仮定して、1) \((v_1 + v_2) \bullet v'_1 = (1 v_1 + 1 v_2) \bullet (1 v'_1 + 0) = 1 v_1 \bullet v'_1 + 1 v_1 \bullet 0 + 1 v_2 \bullet v'_1 + 1 v_2 \bullet 0 = 1 v_1 \bullet v'_1 + 0 + 1 v_2 \bullet v'_1 + 0 = v_1 \bullet v'_1 + v_2 \bullet v'_1\); 2) \(v_1 \bullet (v'_1 + v'_2) = (1 v_1 + 0) \bullet (1 v'_1 + 1 v'_2) = 1 v_1 \bullet v'_1 + 1 v_1 \bullet v'_2 + 0 \bullet 1 v'_1 + 0 \bullet 1 v'_2 = 1 v_1 \bullet v'_1 + 1 v_1 \bullet v'_2 + 0 + 0 = v_1 \bullet v'_1 + v_1 \bullet v'_2\); 3) \(r_1 v_1 \bullet r'_1 v'_1 = (r_1 v_1 + 0) \bullet (r'_1 v'_1 + 0) = (r_1 r'_1) (v_1 \bullet v'_1) + r_1 v_1 \bullet 0 + 0 \bullet r'_1 v'_1 + 0 \bullet 0 = (r_1 r'_1) (v_1 \bullet v'_1) + 0 + 0 + 0 = (r_1 r'_1) (v_1 \bullet v'_1)\); 条件たち1)、2)、3)を仮定して、\((r_1 v_1 + r_2 v_2) \bullet (r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2) = r_1 v_1 \bullet (r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2) + r_2 v_2 \bullet (r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2) = r_1 v_1 \bullet r'_1 v'_1 + r_1 v_1 \bullet r'_2 v'_2 + r_2 v_2 \bullet r'_1 v'_1 + r_2 v_2 \bullet r'_2 v'_2 = (r_1 r'_1) (v_1 \bullet v'_1) + (r_1 r'_2) (v_1 \bullet v'_2) + (r_2 r'_1) (v_2 \bullet v'_1) + (r_2 r'_2) (v_2 \bullet v'_2)\)。
本条件は、マルチプリケーション（乗法）のアソシアティビティ（結合性）を要求しない、それを別の定義は要求する。その理由は、もしも、アソシアティビティ（結合性）が要求されたら、"リーアルジェブラ（多元環）"は間違った名称となろう。
あるフィールド（体）上方のあるアルジェブラ（多元環）はリング（環）ではないかもしれない、なぜなら、アソシアティビティ（結合性）は成立しないかもしれず、マルチプリカティブアイデンティティ（乗法単位要素）\(1\)はその中に存在しないかもしれない。
アソシアティビティ（結合性）を満たす任意のアルジェブラ（多元環）は"アソシアティブ（結合性）アルジェブラ（多元環）"と呼ばれ、それを一部の人々は"アルジェブラ（多元環）"と呼ぶ。
\(1\)を持つ任意のアルジェブラ（多元環）は"ユニタリアルジェブラ（多元環）"と呼ばれる。
任意のユニタリアルジェブラ（多元環）はリング（環）である。
