\(n \times n\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、もしも、各\(n\)列または行ベクトルに対して、マトリックス（行列）にベクトルおよびベクトルのエルミートコンジュゲート（共役）を掛けたものがベクトルにベクトルのエルミートコンジュゲート（共役）を掛けたものである場合、そしてその場合に限って、マトリックス（行列）はアイデンティティ（単位行列）であることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(n \times n\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、もしも、各\(n\)列または行ベクトルに対して、当該マトリックス（行列）に当該ベクトルおよび当該ベクトルのエルミートコンジュゲート（共役）を掛けたものが当該ベクトルに当該ベクトルのエルミートコンジュゲート（共役）を掛けたものである場合、そしてその場合に限って、当該マトリックス（行列）はアイデンティティ（単位行列）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{M\}\): \(= \text{ 当該 } \mathbb{C} \text{ マトリックス（行列）たちスペース（空間） }\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(M\): \(\in \{M\} \cap \{\text{ 全ての } n \times n \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\forall v \in \{M\} \cap \{\text{ 全ての } n \times 1 \text{ マトリックス（行列）たち }\} (v^* M v = v^* v)\)
\(\iff\)
\(M = I\)
)
\(\land\)
(
\(\forall v \in \{M\} \cap \{\text{ 全ての } 1 \times n \text{ マトリックス（行列）たち }\} (v M v^* = v v^*)\)
\(\iff\)
\(M = I\)
)
//
2: 注
任意の\(n \times n\)リアル（実）マトリックス（行列）に対して、もしも、各\(n\)列または行ベクトルに対して、当該マトリックス（行列）に当該ベクトルおよび当該ベクトルのトランスポーズ（転置）を掛けたものが当該ベクトルに当該ベクトルのトランスポーズ（転置）を掛けたものである場合、そしてその場合に限って、当該マトリックス（行列）は、対角コンポーネントたち\(1\)および非対角コンポーネントたちアンチシンメトリック（反対称）を持つという命題と比較のこと: 当該マトリックス（行列）は必ずしもアイデンティティ（単位行列）ではない。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that \(v^* M v = v^* v\); Step 2: see that \(M = I\); Step 3: suppose that \(M = I\); Step 4: see that \(v^* M v = v^* v\); Step 5: suppose that \(v M v^* = v v^*\); Step 6: see that \(M = I\); Step 7: suppose that \(M = I\); Step 8: see that \(v M v^* = v v^*\).
Step 1:
Let us suppose that \(\forall v \in \{M\} \cap \{\text{ the } n \times 1 \text{ matrices } \} (v^* M v = v^* v)\).
Step 2:
Let \(j \in \{1, ..., n\}\) be any.
Let \(v\) be such that \(v^j = 1\) and for each \(m \neq j\), \(v^m = 0\).
Then, \(v^* M v = v^*_m (M v)^m = v^*_m M^m_p v^p = v^*_j M^j_j v^j = 1 M^j_j 1 = M^j_j\).
On the other hand, \(v^* v = v^*_m v^m = v^*_j v^j = 1 1 = 1\).
So, \(M^j_j = 1\).
Let \(j, l \in \{1, ..., n\}\) be any such that \(j \neq l\)
Let \(v\) be such that \(v^j = 1\) and \(v^l = 1\) and for each \(m \neq j, l\), \(v^m = 0\).
Then, \(v^* M v = v^*_m (M v)^m = v^*_m M^m_p v^p = v^*_m (M^m_j v^j + M^m_l v^l) = v^*_j (M^j_j v^j + M^j_l v^l) + v^*_l (M^l_j v^j + M^l_l v^l) = 1 (M^j_j 1 + M^j_l 1) + 1 (M^l_j 1 + M^l_l 1) = M^j_j + M^j_l + M^l_j + M^l_l = 1 + M^j_l + M^l_j + 1\).
On the other hand, \(v^* v = v^*_m v^m = v^*_j v^j + v^*_l v^l = 1 1 + 1 1 = 1 + 1\).
So, \(M^j_l + M^l_j = 0\).
Let \(v\) be such that \(v^j = 1\) and \(v^l = i\) and for each \(m \neq j, l\), \(v^m = 0\).
Then, \(v^* M v = v^*_m (M v)^m = v^*_m M^m_p v^p = v^*_m (M^m_j v^j + M^m_l v^l) = v^*_j (M^j_j v^j + M^j_l v^l) + v^*_l (M^l_j v^j + M^l_l v^l) = 1 (M^j_j 1 + M^j_l i) + (- i) (M^l_j 1 + M^l_l i) = M^j_j + M^j_l i - i M^l_j + M^l_l = 1 + i (M^j_l - M^l_j) + 1\).
On the other hand, \(v^* v = v^*_m v^m = v^*_j v^j + v^*_l v^l = 1 1 + (- i) i = 1 + 1\).
So, \(M^j_l - M^l_j = 0\).
From \(M^j_l + M^l_j = 0\) and \(M^j_l - M^l_j = 0\), \(M^j_l = 0\) and \(M^l_j = 0\).
So, \(M = I\).
Step 3:
Let us suppose that \(M = I\).
Step 4:
Let \(v \in \{M\} \cap \{\text{ the } n \times 1 \text{ matrices } \}\) be any.
\(v^* M v = v^* I v = v^*_m I^m_p v^p = v^*_m I^m_m v^m = v^*_m 1 v^m = v^* v\).
Step 5:
Let us suppose that \(\forall v \in \{M\} \cap \{\text{ the } 1 \times n \text{ matrices }\} (v M v^* = v v^*)\).
Step 6:
Let \(j \in \{1, ..., n\}\) be any.
Let \(v\) be such that \(v_j = 1\) and for each \(m \neq j\), \(v_m = 0\).
Then, \(v M v^* = v_m (M v^*)^m = v_m M^m_p {v^*}^p = v_j M^j_j {v^*}^j = 1 M^j_j 1 = M^j_j\).
On the other hand, \(v v^* = v_m {v^*}^m = v_j {v^*}^j = 1 1 = 1\).
So, \(M^j_j = 1\).
Let \(j, l \in \{1, ..., n\}\) be any such that \(j \neq l\)
Let \(v\) be such that \(v_j = 1\) and \(v_l = 1\) and for each \(m \neq j, l\), \(v_m = 0\).
Then, \(v M v^* = v_m (M {v^*})^m = v_m M^m_p {v^*}^p = v_m (M^m_j {v^*}^j + M^m_l {v^*}^l) = v_j (M^j_j {v^*}^j + M^j_l {v^*}^l) + v_l (M^l_j {v^*}^j + M^l_l {v^*}^l) = 1 (M^j_j 1 + M^j_l 1) + 1 (M^l_j 1 + M^l_l 1) = M^j_j + M^j_l + M^l_j + M^l_l = 1 + M^j_l + M^l_j + 1\).
On the other hand, \(v v^* = v_m {v^*}^m = v_j {v^*}^j + v_l {v^*}^l = 1 1 + 1 1 = 1 + 1\).
So, \(M^j_l + M^l_j = 0\).
Let \(v\) be such that \(v_j = 1\) and \(v_l = i\) and for each \(m \neq j, l\), \(v_m = 0\).
Then, \(v M v^* = v_m (M {v^*})^m = v_m M^m_p {v^*}^p = v_m (M^m_j {v^*}^j + M^m_l {v^*}^l) = v_j (M^j_j {v^*}^j + M^j_l {v^*}^l) + v_l (M^l_j {v^*}^j + M^l_l {v^*}^l) = 1 (M^j_j 1 + M^j_l (- i)) + i (M^l_j 1 + M^l_l (- i)) = M^j_j - M^j_l i + i M^l_j + M^l_l = 1 - i (M^j_l - M^l_j) + 1\).
On the other hand, \(v v^* = v_m {v^*}^m = v_j {v^*}^j + v_l {v^*}^l = 1 1 + i (- i) = 1 + 1\).
So, \(M^j_l - M^l_j = 0\).
From \(M^j_l + M^l_j = 0\) and \(M^j_l - M^l_j = 0\), \(M^j_l = 0\) and \(M^l_j = 0\).
So, \(M = I\).
Step 7:
Let us suppose that \(M = I\).
Step 8:
Let \(v \in \{M\} \cap \{\text{ the } 1 \times n \text{ matrices } \}\) be any.
\(v M v^* = v I v^* = v_m I^m_p {v^*}^p = v_m I^m_m {v^*}^m = v_m 1 {v^*}^m = v v^*\).
