\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）のクォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）へのオペレーションは対応するコンプレックス（複素）マトリックス（行列）のオペレーションに対応することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(m \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、全ての\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのリング（環）は\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）-\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）間'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題を認めている。
- 読者は、任意の同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）の任意のマルチプリカブル（積を取ることができる）（前者マトリックス（行列）のブロックたちと）同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）の対応するクォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）へのオペレーションは対応するコンプレックス（複素）マトリックス（行列）のオペレーションに対応するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in M_n (\mathbb{H})\)
\(\mathbb{H}^n\): \(= \text{ 当該クォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: \mathbb{H} \to R\), \(= \text{ 'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題内に引用されている
\(f'''_r\): \(: M_{1 \times n} (\mathbb{H}) \to M_{2 \times 2 n} (\mathbb{C})\)、それは、\(M_{1 \times n} (\mathbb{H})\)の各要素の各コンポーネントを\(f\)のイメージ（像）で置換する
\(f'''_l\): \(: M_{n \times 1} (\mathbb{H}) \to M_{2 n \times 2} (\mathbb{C})\)、それは、\(M_{n \times 1} (\mathbb{H})\)の各要素の各コンポーネントを\(f\)のイメージ（像）で置換する
\(f''\): \(: M_n (\mathbb{H}) \to f' (M_n (\mathbb{H}))\), \(= \text{ 'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)、全ての\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのリング（環）は\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）-\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）間'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題内で定義されたもの
\(o_{M, r}\): \(: \mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n, t \mapsto t M\)
\(o_{M, l}\): \(: \mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n, t \mapsto M t\)
\(o_{f'' (M), r}\): \(: \mathbb{C}^{2 n} \to \mathbb{C}^{2 n}, t \mapsto t f'' (M)\)
\(o_{f'' (M), l}\): \(: \mathbb{C}^{2 n} \to \mathbb{C}^{2 n}, t \mapsto f'' (M) t\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f'''_r \circ o_{M, r} = o_{f'' (M), r} \circ f'''_r\)
\(\land\)
\(f'''_l \circ o_{M, l} = o_{f'' (M), l} \circ f'''_l\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that for each \(t \in \mathbb{H}^n\), the \(j\) \(2 \times 2\) block of \(f'''_r \circ o_{M, r} (t)\) equals the \(j\) \(2 \times 2\) block of \(o_{f'' (M), r} \circ f'''_r (t)\); Step 2: see that for each \(t \in \mathbb{H}^n\), the \(j\) \(2 \times 2\) block of \(f'''_l \circ o_{M, l} (t)\) equals the \(j\) \(2 \times 2\) block of \(o_{f'' (M), l} \circ f'''_l (t)\).
Step 1:
Let \(t \in \mathbb{H}^n\) be any.
\((o_{M, r} (t))_j = t_l M^l_j\).
The \(j\) \(2 \times 2\) block of \(f'''_r \circ o_{M, r} (t)\) is \(f ((o_{M, r} (t))_j) = f (t_l M^l_j) = f (t_l) f (M^l_j)\), because \(f\) is a ring homomorphism.
The \(j\) \(2 \times 2\) block of \(o_{f'' (M), r} \circ f'''_r (t) = f'''_r (t) f'' (M)\) is \(f (t_l) f (M^l_j)\), by the proposition that the multiplication of any matrix made of any same size blocks by any matrix made of blocks of any multiplicable (with blocks of the former matrix) same size is blocks-wise: \((f (t_1), ..., f (t_n))\) is the \(2 \times 2\) blocks of \(f'''_r (t)\) and \((f (M^1_j), ..., f (M^n_j))^t\) is the \(j\) \(2 \times 2\) blocks column of \(f'' (M)\).
So, the \(j\) \(2 \times 2\) block of \(f'''_r \circ o_{M, r} (t)\) equals the \(j\) \(2 \times 2\) block of \(o_{f'' (M), r} \circ f'''_r (t)\).
So, \(f'''_r \circ o_{M, r} = o_{f'' (M), r} \circ f'''_r\).
Step 2:
Let \(t \in \mathbb{H}^n\) be any.
\((o_{M, l} (t))^j = M^j_l t^l\).
The \(j\) \(2 \times 2\) block of \(f'''_l \circ o_{M, l} (t)\) is \(f ((o_{M, l} (t))^j) = f (M^j_l t^l) = f (M^j_l) f (t^l)\), because \(f\) is a ring homomorphism.
The \(j\) \(2 \times 2\) block of \(o_{f'' (M), l} \circ f'''_l (t) = f'' (M) f'''_l (t)\) is \(f (M^j_l) f (t^l)\), by the proposition that the multiplication of any matrix made of any same size blocks by any matrix made of blocks of any multiplicable (with blocks of the former matrix) same size is blocks-wise: \((f (M^j_1), ..., f (M^j_n))\) is the \(j\) \(2 \times 2\) blocks row of \(f'' (M)\) and \((f (t^1), ..., f (t^n))^t\) is the \(2 \times 2\) blocks of \(f'''_l (t)\).
So, the \(j\) \(2 \times 2\) block of \(f'''_l \circ o_{M, l} (t)\) equals the \(j\) \(2 \times 2\) block of \(o_{f'' (M), l} \circ f'''_l (t)\).
So, \(f'''_l \circ o_{M, l} = o_{f'' (M), l} \circ f'''_l\).
