クォータニオン（4元数）に対して、もしも、クォータニオン（4元数）に\(i\)を左から右から掛けたものたちの合計、クォータニオン（4元数）に\(j\)を左から右から掛けたものたちの合計、クォータニオン（4元数）に\(k\)を左から右から掛けたものたちの合計が\(0\)である場合、そしてその場合に限って、クォータニオン（4元数）は\(0\)であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、0の任意のマルチプル（倍）は0であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクォータニオン（4元数）に対して、もしも、当該クォータニオン（4元数）に\(i\)を左から右から掛けたものたちの合計、当該クォータニオン（4元数）に\(j\)を左から右から掛けたものたちの合計、当該クォータニオン（4元数）に\(k\)を左から右から掛けたものたちの合計が\(0\)である場合、そしてその場合に限って、当該クォータニオン（4元数）は\(0\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{H}\): \(= \text{ クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環） }\)
\(h\): \(\in \mathbb{H}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(h i + i h = h j + j h = h k + k h = 0\)
\(\iff\)
\(h = 0\)
//
2: 注
任意の\(c \in \mathbb{C}\)に対して、\(c i + i c = 0\)は\(c = 0\)を含意する、しかし、ある\(h \in \mathbb{H}\)に対して、\(h i + i h = 0\)だけでは、\(h = 0\)を含意しない、なぜなら、\(\mathbb{H}\)はコミュータティブ（可換）でない: 例えば、\(h = k\)に対して、\(k i + i k = j - j = 0\)。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that \(h i + i h = h j + j h = h k + k h = 0\); Step 2: see that \(h = 0\); Step 3: suppose that \(h = 0\); Step 4: see that \(h i + i h = h j + j h = h k + k h = 0\).
Step 1:
Let us suppose that \(h i + i h = h j + j h = h k + k h = 0\).
Step 2:
\(h = a + b i + c j + d k\) where \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\).
\(h i = (a + b i + c j + d k) i = a i - b - c k + d j\).
\(i h = i (a + b i + c j + d k) = a i - b + c k - d j\).
So, \(h i + i h = a i - b - c k + d j + a i - b + c k - d j = - 2 b + 2 a i = 0\), which implies that \(a = b = 0\).
\(h j = (a + b i + c j + d k) j = a j + b k - c - d i\).
\(j h = j (a + b i + c j + d k) = a j - b k - c + d i\).
So, \(h j + j h = a j + b k - c - d i + a j - b k - c + d i = - 2 c + 2 a j = 0\), which implies that \(a = c = 0\).
\(h k = (a + b i + c j + d k) k = a k - b j + c i - d\).
\(k h = k (a + b i + c j + d k) = a k + b j - c i - d\).
So, \(h k + k h = a k - b j + c i - d + a k + b j - c i - d = - 2 d + 2 a k = 0\), which implies that \(a = d = 0\).
So, \(a = b = c = d = 0\), so, \(h = 0\).
Step 3:
Let us suppose that \(h = 0\).
Step 4:
\(h i + i h = h j + j h = h k + k h = 0\), by the proposition that for any ring, any multiple of 0 is 0.
