リング（環）に対して、インバーティブル（可逆）要素たちのサブセット（部分集合）はマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）を形成することの記述/証明
話題
About: リング（環）
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリング（環）に対して、全てのマルチプリカティブ（乗法）インバーティブル（可逆）要素たちサブセット（部分集合）はあるマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）を形成するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(S\): \(= \{r \in R \vert \exists r^{- 1} \in R\}\)で、\(R\)からインデュースト（誘導された）マルチプリケーション（乗法）を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
//
2: 注
\(R\)自体はあるアディティブ（加法）アーベリアングループ（群）である、リング（環）の定義によって。
しかし、\(R\)自体はマルチプリケーション（乗法）下にグループ（群）ではない、一般に。
\(S\)は、もはや、アディション（加法）下にグループ（群）では無い、一般に。
例えば、\(R = \mathbb{Z}\)としよう、すると、\(S = \{- 1, 1\}\)、そして、\(S\)はアディション（加法）下にグループ（群）ではない、なぜなら、\(1 + 1 \notin S\)、例えば。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(S\) satisfies the conditions to be a group.
Step 1:
Let \(s_1, s_2, s_3 \in S\) be any.
\(S\) is closed under the multiplication, because \((s_1 s_2)^{- 1} = {s_2}^{- 1} {s_1}^{- 1}\), because \({s_2}^{- 1} {s_1}^{- 1} s_1 s_2 = {s_2}^{- 1} ({s_1}^{- 1} s_1) s_2 = {s_2}^{- 1} i s_2 = {s_2}^{- 1} s_2 = i\) and \(s_1 s_2 {s_2}^{- 1} {s_1}^{- 1} = s_1 (s_2 {s_2}^{- 1}) {s_1}^{- 1} = s_1 i {s_1}^{- 1} = s_1 {s_1}^{- 1} = i\).
1) \((s_1 \bullet s_2) \bullet s_3 = s_1 \bullet (s_2 \bullet s_3)\): because it holds on the ambient \(R\).
2) \(i \in S\) (called 'identity element') such that \(i \bullet s_1 = s_1 \bullet i = s_1\): \(i \in S\), because \(i^{- 1} = i \in R\), because \(i i = i\), and \(i \bullet s_1 = s_1 \bullet i = s_1\), because it holds on the ambient \(R\).
3) \(s_1^{- 1} \in S\) (called 'inverse element of \(s_1\)') such that \(s_1^{- 1} \bullet s_1 = s_1 \bullet s_1^{- 1} = i\): \(s_1^{- 1} \in S\), because \({s_1^{- 1}}^{- 1} = s_1 \in S\), because \(s_1 s_1^{- 1} = s_1^{- 1} s_1 = i\), and \(s_1^{- 1} s_1 = s_1 s_1^{- 1} = i\), because it holds on the ambient \(R\).
So, \(S\) is a group under the multiplication.
