'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はマルチプリカティブ（乗法）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）へリストリクテッド（制限）されることの記述/証明
話題
About: リング（環）
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、全てのマルチプリカティブ（乗法）インバーティブル（可逆）要素たちサブセット（部分集合）はあるマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）を形成するという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はマルチプリカティブ（乗法）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）へリストリクテッド（制限）されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R_1\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(R_2\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(f\): \(: R_1 \to R_2\), \(\in \{\text{ 全ての'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
\(G_1\): \(= \{r_1 \in R_1 \vert \exists {r_1}^{- 1} \in R_1\}\)で、インデュースト（誘導された）マルチプリケーション（乗法）を持つもの, \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G_2\): \(= \{r_2 \in R_2 \vert \exists {r_2}^{- 1} \in R_2\}\)で、インデュースト（誘導された）マルチプリケーション（乗法）を持つもの, \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(f^`\): \(: G_1 \to G_2\), \(= f \text{ のドメイン（定義域）コドメイン（余域）リストリクション（制限） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f^` \in \{\text{ 全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 注
\(f\)自体はあるアディティブ（加法）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、ある'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることがそれを要求する。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(f^`\) is valid; Step 2: see that \(f^`\) is a group homomorphism; Step 3: see that \(f^`\) is a bijection; Step 4: conclude the proposition.
Step 1:
Let us see that \(f^`\) is valid.
\(G_1\) and \(G_2\) are indeed some groups, by the proposition that for any ring, the subset of the multiplicatively-invertible elements forms a multiplicative group.
Is \(f^`\) indeed into \(G_2\)?
Let \(g_1 \in G_1\) be any.
\(f^` (g_1)^{- 1} = f (g_1)^{- 1} = f (g_1^{- 1})\), because \(f (g_1^{- 1}) f (g_1) = f (g_1^{- 1} g_1)\), because \(f\) is a ring homomorphism, \(= f (1) = 1\), because \(f\) is a ring homomorphism, and \(f (g_1) f (g_1^{- 1}) = f (g_1 g_1^{- 1})\), because \(f\) is a ring homomorphism, \(= f (1) = 1\), because \(f\) is a ring homomorphism.
So, \(f^` (g_1) \in G_2\).
So, \(f^`\) is into \(G_2\).
So, \(f^`\) is valid.
Step 2:
Let us see that \(f^`\) is a group homomorphism.
For each \(g_1, g'_1 \in G_1\), \(f^` (g_1 g'_1) = f (g_1 g'_1) = f (g_1) f (g'_1)\), because \(f\) is a ring homomorphism, \(= f^` (g_1) f^` (g'_1)\).
So, \(f^`\) is a group homomorphism, by the proposition that any map between any groups that maps the product of any 2 elements to the product of the images of the elements is a group homomorphism.
Step 3:
\(f^`\) is an injection, because \(f\) is so.
\(f^`\) is a surjection, because for each \(g_2 \in G_2\), there is an \(r_1 \in R_1\) such that \(f (r_1) = g_2\), because \(f\) is a surjection, but \({g_2}^{- 1} = f (r'_1)\), because \(f\) is a surjection, and \(f (r_1 r'_1) = f (r_1) f (r'_1)\), because \(f\) is a ring homomorphism, \(= g_2 {g_2}^{- 1} = 1\), which implies that \(r_1 r'_1 = 1\), because \(f\) is a 'rings - homomorphisms' isomorphism, and \(f (r'_1 r_1) = f (r'_1) f (r_1)\), because \(f\) is a ring homomorphism, \(= {g_2}^{- 1} g_2 = 1\), which implies that \(r'_1 r_1 = 1\), because \(f\) is a 'rings - homomorphisms' isomorphism, so, \(r'_1 = {r_1}^{- 1}\), so, \(r_1 \in G_1\).
So, \(f^`\) is a bijection.
Step 4:
So, \(f^`\) is a 'groups - homomorphisms' isomorphism, by the proposition that any bijective group homomorphism is a 'groups - homomorphisms' isomorphism Bijective Group Homomorphism Is 'Groups - Homomorphisms' Isomorphism
