グループ（群）に対して、要素たちのインバース（逆）たちのセット（集合）はグループ（群）で重複を持たないことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、当該グループ（群）の全ての要素たちのインバース（逆）たちのセット（集合）は当該グループ（群）で重複を持たないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\), \(= \{g_j \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)は任意のインデックスセット（集合）で、重複を持たない
\(G^{- 1}\): \(= \{{g_j}^{- 1} \vert j \in J\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G^{- 1} = G\)
\(\land\)
\(\forall j, l \in J \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } j \neq l ({g_j}^{- 1} \neq {g_l}^{- 1})\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(G^{- 1} \subseteq G\) and \(G \subseteq G^{- 1}\); Step 2: see that \(G^{- 1}\) has no duplication.
Step 1:
\(G^{- 1} \subseteq G\), because by the definition of group, the inverse of each element is contained in the group.
\(G \subseteq G^{- 1}\), because for each \(g \in G\), \(g = {g^{- 1}}^{- 1}\), and as \(g^{- 1} \in G\), \({g^{- 1}}^{- 1} \in G^{- 1}\).
So, \(G^{- 1} = G\).
Step 2:
For each \(j, l \in J\) such that \(j \neq l\), \({g_j}^{- 1} \neq {g_l}^{- 1}\), because if \({g_j}^{- 1} = {g_l}^{- 1}\), \({{g_j}^{- 1}}^{- 1} = {{g_l}^{- 1}}^{- 1}\), but the left hand side was \(g_j\) and the right hand side was \(g_l\), and so, \(g_j = g_l\), which would mean that \(j = l\), a contradiction.
That means that \(G^{- 1}\) has no duplication.
