ファイナイト（有限）シーケンス（列）のパーミュテーション（並び替え）に対して、パーミュテーション（並び替え）のインバース（逆）のサイン（符号）はパーミュテーション（並び替え）のサイン（符号）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）シーケンス（列）の任意のパーミュテーション（並び替え）に対して、当該パーミュテーション（並び替え）のインバース（逆）のサイン（符号）は当該パーミュテーション（並び替え）のサイン（符号）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\mathbb{N} \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(f\): \(\in \{S \text{ からの全てのシーケンス（列）たち }\}\)
\(\sigma\): \(: S \to S\), \(\in \{f \text{ の全てのパーミュテーション（並び替え）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sigma^{- 1} \in \{f \text{ の全てのパーミュテーション（並び替え）たち }\}\)
\(\land\)
\(sgn (\sigma) = sgn (\sigma^{- 1})\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\sigma^{- 1}\) is a bijection; Step 2: see that there is a bijection from \(\{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma^{- 1} (s_2) \lt \sigma^{- 1} (s_1)\}\) to \(\{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma (s_2) \lt \sigma (s_1)\}\).
Step 1:
\(\sigma\) has indeed \(\sigma^{- 1}: S \to S\), by the proposition that any map is a bijection if and only if it has an inverse.
\(\sigma^{- 1}\) is a bijection, by the proposition that the inverse of any bijection is a bijection.
So, \(\sigma^{- 1}\) is a permutation.
Step 2:
\(sgn (\sigma^{- 1})\) is determined by the cardinality of \(\{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma^{- 1} (s_2) \lt \sigma^{- 1} (s_1)\}\) and \(sgn (\sigma)\) is determined by the cardinality of \(\{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma (s_2) \lt \sigma (s_1)\}\).
Let us see that \(f: \{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma^{- 1} (s_2) \lt \sigma^{- 1} (s_1)\} \to \{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma (s_2) \lt \sigma (s_1)\}, (s_1, s_2) \mapsto (\sigma^{- 1} (s_2), \sigma^{- 1} (s_1))\) is a bijection.
\(f\) is indeed into \(\{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma (s_2) \lt \sigma (s_1)\}\), because \(\sigma^{- 1} (s_2) \lt \sigma^{- 1} (s_1)\) and \((\sigma (\sigma^{- 1} (s_1)) = s_1 \lt s_2 = \sigma (\sigma^{- 1} (s_2))\).
\(f\) is an injection, obviously.
\(f\) is a surjection, because for each \((s_1, s_2) \in \{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma (s_2) \lt \sigma (s_1)\}\), \((\sigma (s_2), \sigma (s_1)) \in \{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma^{- 1} (s_2) \lt \sigma^{- 1} (s_1)\}\), because \(\sigma (s_2) \lt \sigma (s_1)\) and \(\sigma^{- 1} (\sigma (s_1)) = s_1 \lt s_2 = \sigma^{- 1} (\sigma (s_2))\), and \(f ((\sigma (s_2), \sigma (s_1))) = (\sigma^{- 1} (\sigma (s_1)), \sigma^{- 1} (\sigma (s_2))) = (s_1, s_2)\).
So, \(f\) is a bijection.
So, \(\vert \{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma^{- 1} (s_2) \lt \sigma^{- 1} (s_1)\} \vert = \vert \{(s_1, s_2) \in \{\text{ the ordered pairs of } S\} \vert s_1 \lt s_2 \land \sigma (s_2) \lt \sigma (s_1)\} \vert\).
That implies that \(sgn (\sigma) = sgn (\sigma^{- 1})\).
