ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちからインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間オーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）に対して、要素たちのイメージ（像）たちのインナープロダクト（内積）は要素たちのインナープロダクト（内積）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちからインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間任意のオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意の要素たちのイメージ（像）たちのインナープロダクト（内積）は当該要素たちのインナープロダクト（内積）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall v_1, v'_1 \in V_1 (\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle = \langle v_1, v'_1 \rangle)\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: expand \(\langle f (v_1 + v'_1), f (v_1 + v'_1) \rangle = \langle v_1 + v'_1, v_1 + v'_1 \rangle\) and \(\langle f (v_1 + i v'_1), f (v_1 + i v'_1) \rangle = \langle v_1 + i v'_1, v_1 + i v'_1 \rangle\).
Step 1:
\(\langle f (v_1 + v'_1), f (v_1 + v'_1) \rangle = \Vert f (v_1 + v'_1) \Vert^2 = \Vert v_1 + v'_1 \Vert^2 = \langle v_1 + v'_1, v_1 + v'_1 \rangle\), because \(f\) is an orthogonal linear map.
The left hand side is \(\langle f (v_1) + f (v'_1), f (v_1) + f (v'_1) \rangle = \langle f (v_1), f (v_1) \rangle + \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle + \langle f (v'_1), f (v_1) \rangle + \langle f (v'_1), f (v'_1) \rangle = \Vert f (v_1) \Vert^2 + \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle + \overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle} + \Vert f (v'_1) \Vert^2 = \Vert v_1 \Vert^2 + \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle + \overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle} + \Vert v'_1 \Vert^2\), because \(f\) is an orthogonal linear map.
The right hand side is \(\langle v_1, v_1 \rangle +\langle v_1, v'_1 \rangle + \langle v'_1, v_1 \rangle + \langle v'_1, v'_1 \rangle = \Vert v_1 \Vert^2 + \langle v_1, v'_1 \rangle + \overline{\langle v_1, v'_1 \rangle} + \Vert v'_1 \Vert^2\).
So, \(\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle + \overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle} = \langle v_1, v'_1 \rangle + \overline{\langle v_1, v'_1 \rangle}\).
When \(F = \mathbb{R}\), \(\overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle} = \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle\) and \(\overline{\langle v_1, v'_1 \rangle} = \langle v_1, v'_1 \rangle\), so, \(2 \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle = 2 \langle v_1, v'_1 \rangle\), so, \(\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle = \langle v_1, v'_1 \rangle\).
Let us suppose that \(F = \mathbb{C}\), hereafter.
\(\langle f (v_1 + i v'_1), f (v_1 + i v'_1) \rangle = \Vert f (v_1 + i v'_1) \Vert^2 = \Vert v_1 + i v'_1 \Vert^2 = \langle v_1 + i v'_1, v_1 + i v'_1 \rangle\), because \(f\) is an orthogonal linear map.
The left hand side is \(\langle f (v_1) + i f (v'_1), f (v_1) + i f (v'_1) \rangle = \langle f (v_1), f (v_1) \rangle - i \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle + i \langle f (v'_1), f (v_1) \rangle + i (- i) \langle f (v'_1), f (v'_1) \rangle = \Vert f (v_1) \Vert^2 - i \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle + i \overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle} + \Vert f (v'_1) \Vert^2 = \Vert v_1 \Vert^2 - i \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle + i \overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle} + \Vert v'_1 \Vert^2\), because \(f\) is an orthogonal linear map.
The right hand side is \(\langle v_1, v_1 \rangle - i \langle v_1, v'_1 \rangle + i \langle v'_1, v_1 \rangle + i (- i) \langle v'_1, v'_1 \rangle = \Vert v_1 \Vert^2 - i \langle v_1, v'_1 \rangle + i \overline{\langle v_1, v'_1 \rangle} + \Vert v'_1 \Vert^2\).
So, \(- i \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle + i \overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle} = - i \langle v_1, v'_1 \rangle + i \overline{\langle v_1, v'_1 \rangle}\), so, \(- i (\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle - \overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle}) = - i (\langle v_1, v'_1 \rangle - \overline{\langle v_1, v'_1 \rangle})\), so, \(\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle - \overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle} = \langle v_1, v'_1 \rangle - \overline{\langle v_1, v'_1 \rangle}\).
So, \(\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle + \overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle} + \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle - \overline{\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle} = \langle v_1, v'_1 \rangle + \overline{\langle v_1, v'_1 \rangle} + \langle v_1, v'_1 \rangle - \overline{\langle v_1, v'_1 \rangle}\), so, \(2 \langle f (v_1), f (v'_1) \rangle = 2 \langle v_1, v'_1 \rangle\), so, \(\langle f (v_1), f (v'_1) \rangle = \langle v_1, v'_1 \rangle\).
