スクウェア（正方）コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のデターミナント（行列式）はマトリックス（行列）のデターミナント（行列式）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のスクウェア（正方）コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、当該マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のデターミナント（行列式）は当該マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times n \mathbb{C} \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(det M^* = \overline{det M}\)
//
2: 注
ある即座の系として、任意のユニタリ\(M\)に対して、\(\vert det M \vert = 1\)、なぜなら、\(M^* M = I\)であるから、\(det (M^* M) = det I = 1\)、しかし、当該左辺は、\(det M^* det M = \overline{det M} det M = \vert det M \vert^2\)。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(det M^* = \overline{\sum_{\sigma \in S_n} sgn (\sigma) M^{\sigma_1}_1 ... M^{\sigma_n}_n} = \overline{det M^t} = \overline{det M}\).
Step 1:
\(det M^* = \sum_{\sigma \in S_n} sgn (\sigma) {M^*}^1_{\sigma_1} ... {M^*}^n_{\sigma_n}\), by the definition of determinant, \(= \sum_{\sigma \in S_n} sgn (\sigma) \overline{M^{\sigma_1}_1} ... \overline{M^{\sigma_n}_n} = \overline{\sum_{\sigma \in S_n} sgn (\sigma) M^{\sigma_1}_1 ... M^{\sigma_n}_n} = \overline{\sum_{\sigma \in S_n} sgn (\sigma) {M^t}^1_{\sigma_1} ... {M^t}^n_{\sigma_n}} = \overline{det M^t}\).
\(= \overline{det M}\), by the proposition that for any square commutative ring matrix, the determinant of the transpose of the matrix is the determinant of the matrix.
