リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）の定義
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、n-シンメトリックグループ（対称群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times n R \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
\( S_n\): \(= \text{ } n \text{ -シンメトリックグループ（対称群） }\)
\(*det M\): \(= \sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma M^1_{\sigma_1} ... M^n_{\sigma_n}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(R\)がコミュータティブ（可換）である時、\(det M = \sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma M^{\sigma_1}_1 ... M^{\sigma_n}_n\)。
その事実を見よう。
\(M^1_{\sigma_1} ... M^n_{\sigma_n}\)のファクター（因子）たちは並び替えて\(M^{\sigma^{-1}_1}_1 ... M^{\sigma^{-1}_n}_n\)にできる: \(\sigma_j = l\)である時、\(\sigma (j) = l\)、したがって、\(j = \sigma^{-1} (l)\)、したがって、\(M^j_{\sigma_j} = M^{\sigma^{-1} (l)}_l\)。
\(sgn \sigma^{-1} = sgn \sigma\)。
したがって、\(det M = \sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma^{-1} M^{\sigma^{-1}_1}_1 ... M^{\sigma^{-1}_n}_n\)。
しかし、\(\sigma\)が\(S_n\)を巡回する時、\(\sigma^{-1}\)は\(S_n\)を巡回する、したがって、\(det M = \sum_{\sigma^{-1} \in S_n} sgn \sigma^{-1} M^{\sigma^{-1}_1}_1 ... M^{\sigma^{-1}_n}_n\)。
それは、\(\sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma M^{\sigma_1}_1 ... M^{\sigma_n}_n\)に等しい、なぜなら、それは、単に、\(\sigma^{-1}\)というシンボルを\(\sigma\)に変えているだけである。
