コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）インナープロダクト（内積）を持つものおよび\(2\)個の同一カーディナリティ（濃度）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちに対して、オーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）でサブセット（部分集合）たちの内の一方を他方にマップしそのカノニカル（正典）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリであるものがある、そして、カーディナリティ（濃度）がディメンション（次元）より小さい時、デターミナント（行列式）は絶対値\(1\)の任意のものにできることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間オーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリである場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のスクウェア（正方）コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、当該マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のデターミナント（行列式）は当該マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）であるという命題を認めている。
- 読者は、モジュール（加群）たちで任意のファイナイト（有限）ベーシス（基底）たちを持つ任意のものたち間任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）たちのベーシス（基底）たちの変更たちでベーシス（基底）たちカーディナリティ（濃度）が保存されるものたちに関するトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つものおよび任意の\(2\)個の同一カーディナリティ（濃度）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちに対して、あるオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）で当該サブセット（部分集合）たちの内の任意の一方を他方にマップしそのカノニカル（正典）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリであるものがある、そして、当該カーディナリティ（濃度）が当該ディメンション（次元）より小さい時、当該デターミナント（行列式）は絶対値\(1\)の任意のものにできるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{C}^d\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもの }\)
\(S\): \(= \{b^1, ..., b^k\} \in \{\mathbb{C}^d \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(S'\): \(= \{b'^1, ..., b'^k\} \in \{\mathbb{C}^d \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^d, \in \{\text{ 全てのオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）たち }\} (\forall j \in \{1, ..., k\} (f (b^j) = b'^j) \land M, f \text{ の } \mathbb{C}^d \text{ のカノニカル（正典）ベーシス（基底）に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） }, \in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\})\)
\(\land\)
(
\(k \lt d\)
\(\implies\)
\(\forall c \in \mathbb{C} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \vert c \vert = 1 (f \text{ は以下を満たすように選べる、つまり、 } det M = c)\)
)
//
2: 注
任意のユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つものおよび任意の\(2\)個の同一カーディナリティ（濃度）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちに対して、あるオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）で当該サブセット（部分集合）たちの内の任意の一方を他方にマップしそのカノニカル（正典）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）であるものがある、そして、当該カーディナリティ（濃度）が当該ディメンション（次元）より小さい時、当該デターミナント（行列式）は絶対値\(1\)の任意のものにできるという命題も成立する。
なぜ"\(k \lt d\)"が要求されているかという理由は、それは\(f\)を調整する自由度を与えるということ: \(k = d\)である時は、\(f\)はユニークに決定される。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: take any orthonormal bases, \(B = (b^1, ..., b^k, b^{k + 1}, ..., b^d)\) and \(B' = (b'^1, ..., b'^k, b'^{k + 1}, ..., b'^d)\), and define the linear map, \(f: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^d, v = v_j b^j \mapsto v_j b'^j\); Step 2: see that \(f\) is orthogonal and that the canonical representative matrix is unitary; Step 3: suppose that \(k \lt d\); Step 4: see that \(det M = e^{i \theta}\) and take \(\widetilde{B'} = (b'^1, ..., b'^k, b'^{k + 1}, ..., e^{i (\phi - \theta)} b'^d)\) and \(\widetilde{f}: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^d, v = v_j b^j \mapsto v_j \widetilde{b'}^j\) with the canonical representative matrix, \(\widetilde{M}\), and see that \(det \widetilde{M} = e^{i \phi}\).
Step 1:
Let us take any orthonormal basis, \(B = (b^1, ..., b^k, b^{k + 1}, ..., b^d)\) of \(\mathbb{C}^d\), which is possible, by the proposition that for any vectors space with any inner product, any orthonormal subset is linearly independent, the proposition that for any finite-dimensional vectors space, any linearly independent subset can be expanded to be a basis by adding a finite number of elements, and the definition of Gram-Schmidt orthonormalization of countable subset of vectors space with inner product.
Let us take any orthonormal basis, \(B' = (b'^1, ..., b'^k, b'^{k + 1}, ..., b'^d)\) of \(\mathbb{C}^d\), which is possible, likewise.
Let us define the map, \(f: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^d, v = v_j b^j \mapsto v_j b'^j\), which is linear (in fact, a 'vectors spaces - linear morphisms' isomorphism), by the proposition that between any vectors spaces, any map that maps any basis onto any basis bijectively and expands the mapping linearly is a 'vectors spaces - linear morphisms' isomorphism: \(f\) maps \(b^j\) to \(b'^j\) and is expanding the mapping between the bases linearly.
Step 2:
\(f\) is orthogonal, because for each \(v = v_j b^j \in \mathbb{C}^d\), \(\Vert f (v) \Vert = \Vert f (v_j b^j) \Vert = \Vert v_j b'^j \Vert = \sqrt{\langle v_j b'^j, v_l b'^l \rangle} = \sqrt{v_j \overline{v_l} \langle b'^j, b'^l \rangle} = \sqrt{v_j \overline{v_l} \delta^{j, l}} = \sqrt{v_j \overline{v_l} \langle b^j, b^l \rangle} = \sqrt{\langle v_j b^j, v_l b^l \rangle} = \Vert v_j b^j \Vert = \Vert v \Vert\).
So, its canonical representative matrix, \(M\), is unitary, by the proposition that for any linear map from any complex-Euclidean-normed complex Euclidean vectors space into itself, the map is orthogonal if and only if the canonical representative matrix is unitary.
Step 3:
Let us suppose that \(k \lt d\).
Step 4:
\(det M = e^{i \theta}\) where \(\theta \in \mathbb{R}\), by Note for the proposition that for any square complex matrix, the determinant of the Hermitian conjugate of the matrix is the complex conjugate of the determinant of the matrix.
For each \(c \in \mathbb{C}\) such that \(\vert c \vert = 1\), \(c = e^{i \phi}\) for a \(\phi \in \mathbb{R}\).
Let us take \(\widetilde{B'} = (\widetilde{b'}^1 = b'^1, ..., \widetilde{b'}^k = b'^k, \widetilde{b'}^{k + 1} = b'^{k + 1}, ..., \widetilde{b'}^d = e^{i (\phi - \theta)} b'^d)\) instead of \(B'\).
\(\widetilde{B'}\) is orthonormal, because for each \(j \lt d\), \(\langle b'^j, e^{i (\phi - \theta)} b'^d \rangle = \overline{e^{i (\phi - \theta)}} \langle b'^j, b'^d \rangle = \overline{e^{i (\phi - \theta)}} 0 = 0\) and \(\langle e^{i (\phi - \theta)} b'^d, e^{i (\phi - \theta)} b'^d \rangle = e^{i (\phi - \theta)} \overline{e^{i (\phi - \theta)}} \langle b'^d, b'^d \rangle = 1 1 = 1\).
Let us define \(\widetilde{f}: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^d, v = v_j b^j \mapsto v_j \widetilde{b'}^j\).
By Step 2, \(\widetilde{f}\) is represented by a unitary \(\widetilde{M}\).
By the proposition that for any linear map between any modules with any finite bases, the transition of the map representative matrices with respect to changes of bases with the bases-cardinalities conserved is this, \(M = N I N'^{- 1}\) and \(\widetilde{M} = N I \widetilde{N'}^{- 1}\), where \(e^j = N'^j_l b'^l\) and \(e^j = \widetilde{N'}^j_l \widetilde{b'}^l\), where \(\{e^1, ..., e^d\}\) is the canonical basis: the representative matrix of \(f\) with respect to \(B\) and \(B'\) is \(I\) and the representative matrix of \(\widetilde{f}\) with respect to \(B\) and \(\widetilde{B'}\) is \(I\).
In fact, for each \(l \in \{1, ..., d - 1\}\), \(\widetilde{N'}^j_l = N'^j_l\) and \(\widetilde{N'}^j_d = N'^j_d e^{- i (\phi - \theta)}\), because \(\widetilde{N'}^j_l \widetilde{b'}^l = \sum_{l \in \{1 ..., d - 1\}} \widetilde{N'}^j_l \widetilde{b'}^l + \widetilde{N'}^j_d \widetilde{b'}^d = \sum_{l \in \{1 ..., d - 1\}} \widetilde{N'}^j_l b'^l + \widetilde{N'}^j_d e^{i (\phi - \theta)} b'^d = e^j = N'^j_l b'^l = \sum_{l \in \{1 ..., d - 1\}} N'^j_l b'^l + N'^j_d b'^d\), which implies that \(\widetilde{N'}^j_l = N'^j_l\) for each \(l \in \{1, ..., d - 1\}\) and \(\widetilde{N'}^j_d e^{i (\phi - \theta)} = N'^j_d\), by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique.
\(det \widetilde{N'} = det N' e^{- i (\phi - \theta)}\), as is well known.
As \(1 = det I = det (N'^{- 1} N') = det N'^{- 1} det N'\), \(det N'^{- 1} = (det N')^{- 1}\); \(det \widetilde{N'}^{- 1} = (det \widetilde{N'})^{- 1}\), likewise.
So, \(det \widetilde{N'}^{- 1} = (det \widetilde{N'})^{- 1} = (det N' e^{- i (\phi - \theta)})^{- 1} = e^{i (\phi - \theta)} det N'^{- 1}\).
So, \(det \widetilde{M} = det (N I \widetilde{N'}^{- 1}) = det N det I det \widetilde{N'}^{- 1} = det N det I e^{i (\phi - \theta)} det N'^{- 1} = det N det I det N'^{- 1} e^{i (\phi - \theta)} = det (N I N'^{- 1}) e^{i (\phi - \theta)} = det M e^{i (\phi - \theta)} = e^{i \theta} e^{i (\phi - \theta)} = e^{i \phi}\).
So, we can take \(\widetilde{B'}\), then, \(\widetilde{f}\) is an orthogonal linear map that maps \(S\) to \(S'\) whose representative matrix is unitary with determinant \(e^{i \phi} = c\).
