39: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルム

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リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$、カノニカル（自然な）フィールド（体）構造を持ったもの
$V$: $\in \{F\text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\ast \Vert \bullet \Vert$: $:V\to \mathbb{R}$ //

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }{v}_1,v_2\in V$, $\mathrm{\forall }r\in F$,
(
1) ($0\le \Vert v_1\Vert$) $\wedge$ ($(0=\Vert v_1\Vert )⟺(v_1=0)$)
$\wedge$
2) $\Vert r{v}_1\Vert =|r|\Vert v_1\Vert$
$\wedge$
3) $\Vert v_1+v_2\Vert \le \Vert v_1\Vert +\Vert v_2\Vert$
)
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$、$F$上方の任意のベクトルたちスペース（空間）$V$に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）$\Vert \bullet \Vert :V\to \mathbb{R}$、つまり、任意のベクトルたち$v_1,v_2\in V$および任意のスカラー$r\in F$に対して、1) $\Vert v_1\Vert \ge 0$、ここで、等号はもしも、$v_1=0$である場合、そしてその場合に限って成立する; 2) $\Vert r{v}_1\Vert =|r|\Vert v_1\Vert$; 3) $\Vert v_1+v_2\Vert \le \Vert v_1\Vert +\Vert v_2\Vert$

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参考資料

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