ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: デリバティブ（微分係数）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( K\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\( \{e_j\}\): \(\in \{Vの\text{ 全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(j \in K\), \(e_j \in V\),
\( J\): \(= (t_1, t_2) \subseteq \mathbb{R}\)
\( v\): \(: J \to V\), \(= v^j (t) e_j\)
\(*\frac{d v (t)}{d t}\): \(= \frac{d v^j (t)}{d t} e_j\)
//
コンディションたち:
\(\frac{d v^j (t)}{d t}\)たちは存在する。
//
2: 自然言語記述
任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、任意のインターバル（区間）\(J = (t_1, t_2) \subseteq \mathbb{R}\)、任意のベクトルたち1-パラメータファミリー\(v: J \to V\)に対して、\(\frac{d v (t)}{d t} = \frac{d v^j (t)}{d t} e_j\)、もしも、それが存在する場合、ここで、\({e_j \in V \vert j \in K}\)は\(V\)の任意のベーシス（基底）であり\(v (t) = v^j e_j\)
3: 注
当該定義は本当にはベーシス（基底）の選択に依存しない: 任意のベーシス（基底）たち\({e_{1, j}}\)および\({e_{2, j}}\)、ここで、あるマトリックス（行列）\(T\)でもって\(e_{1, j} = e_{2, k} T^k_j\)、に対して、\(v (t) = v_1^j (t) e_{1, j} = v_2^j (t) e_{2, j}\)、ここで、\(v_2^j (t) = T^j_k v_1^k (t)\)、なぜなら、\(v (t) = v_1^j (t) e_{1, j} = v_1^j (t) e_{2, k} T^k_j = v_1^k (t) e_{2, j} T^j_k\)、そして、\(\frac{d v_2^j (t)}{d t} e_{2, j} = \frac{d T^j_k v_1^k (t)}{d t} e_{2, j} = T^j_k \frac{d v_1^k (t)}{d t} e_{2, j} = \frac{d v_1^k (t)}{d t} e_{2, j} T^j_k = \frac{d v_1^k (t)}{d t} e_{1, k} = \frac{d v_1^j (t)}{d t} e_{1, j}\)。
