\(C^1\)ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）とディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の等価性の記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^k\)ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）の定義を知っている。
- 読者は、ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の、\(C^1\)ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）と、それに対応するディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の等価性の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）M、任意のポイント\(p \in M\)、\(C^1\)ファンクション（関数）たちのpにおけるデライベイション（微分）の集合\(\mathfrak{D}^1_p (M)\)、ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の集合\(T_pM\)に対して、任意のチャート上でのマップ（写像）\(\phi: T_pM \rightarrow \mathfrak{D}^1_p (M)\), \(\frac{d f ({v^i t})}{d t} \mapsto v^i \frac{\partial f}{\partial x_i}\)、ここで\({v^i}\)は実数の任意のコンビネーション、はアイソモーフィズム（同形写像）で、それは実際にはチャートの選択に依存せず、任意の\(C^1\)ファンクション（関数）に対して同じ結果を与える。
2: 証明
任意のディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）を、ユニークな\({v^1, v^2, . . ., v^n}\)で\(c (t) = {v^1 t, v^2 t, . . ., v^n t}\)によって代表させることができる、なぜなら、カーブのpにおけるタンジェント（接線）のみが問題だから。\(v^i \frac{\partial f}{\partial x_i}\)は、pにおけるデライベイション（微分）であり、なぜなら、\(v^i \frac{\partial f g}{\partial x_i} = v^i \frac{\partial f}{\partial x^i} g + f v^i \frac{\partial g}{\partial x^i}\)、ライプニッツルールを満たして。そのマップ（写像）は、インジェクション（単射）である、なぜなら、2つの異なる\({v_1^1, v_1^2, . . ., v_1^n}\)および\({v_2^1, v_2^2, . . ., v_2^n}\)にfを\(x^i\)として、結果は、\(v_1^i\)および\(v_2^i\)、それはあるiに対して異なる。そのマップ（写像）はサージェクション（全射）である、なぜなら、テイラーの剰余付き定理にによって、任意の\(C^1\)ファンクション（関数）fは、\(f (x) = f (p) + (x^i - p^i) f_{r_i} (x)\)を満たす、ここで\(f_{r_i} (p) = \frac{\partial f}{\partial x^i} (p)\)。その両サイドに、pにおける任意のデライベイション（微分）を作用させると、\(D_v (f (x))|_p = (D_v ( (x^i - p^i)))|_p f_{r_i} (p) + (p^i - p^i) (D_v (f_{r_i} (x))|_p = (D_v (x^i - p^i))|_p f_{r_i} (p) + 0 = (D_v (x^i))|_p \frac{\partial f}{\partial x^i}|_p\)。したがって、pにおける任意のデライベイション（微分）を、\((v^1, v^2, . . ., v^n) = (D_v (x^1)|_p, D_v (x^2)|_p, . . ., D_v (x^n)|_p)\)を用いて代表させることができる。
任意のデライベイション（微分）の結果は、対応するディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）のそれと同一である、なぜなら、\(\frac{d f ({v^i t})}{d t} = \frac{\partial f (x)}{\partial x^i} v_i\)、チェインルール（連鎖法則）によって。
そのアイソモーフィズム（同形写像）は、チャートの選択に依存しない、なぜなら、ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）は選択に依存せず、デライベイション（微分）は、選択に依存しないディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）に等価だから。
3: 注
\(C^\infty\)ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）は、ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の、ドメイン（定義域）を\(C^\infty\)ファンクション（関数）たちに制限したものと等価である、なぜなら、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）は\(C^1\)ファンクション（関数）であり、当該マップ（写像）\(\frac{d f ({v^i t})}{d t} \mapsto v^i \frac{\partial f}{\partial x_i}\)は任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して通用し、インジェクティブ性とサージェクティブ性は保持され（なぜなら、\(C^1\)ファンクション（関数）たちに対する証明に使われた材料はこのケースにも使えるから: \(x^i\)は、\(C^1\)であると同時に\(C^\infty\)でもあり、テイラーの定理は、\(C^\infty\)ファンクション（関数）（\(C^1\)ファンクション（関数）である）にも通用する）、両サイドは、ドメイン（定義域）が制限されただけで同一の結果を与える。"ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の、ドメイン（定義域）を\(C^\infty\)ファンクション（関数）たちに制限したもの"と言わなければならない、なぜなら、\(C^\infty_p (M) \rightarrow \mathbb{R}\)は、\(C^1_p (M) \rightarrow \mathbb{R}\)と厳密に等価であるとは言えないから。
