278: C^1ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）とディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の等価性

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$C^1$ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）とディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の等価性の記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、$C^k$ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）の定義を知っている。
• 読者は、ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の、$C^1$ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）と、それに対応するディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の等価性の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）M、任意のポイント$p\in M$、$C^1$ファンクション（関数）たちのpにおけるデライベイション（微分）の集合${\mathfrak{D}}_p^1(M)$、ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の集合$T_{p}M$に対して、任意のチャート上でのマップ（写像）$\varphi :T_{p}M\to {\mathfrak{D}}_p^1(M)$, $\frac{df(v^{i}t)}{dt}\mapsto v^i\frac{\partial f}{\partial x_i}$、ここで$v^i$は実数の任意のコンビネーション、はアイソモーフィズム（同形写像）で、それは実際にはチャートの選択に依存せず、任意の$C^1$ファンクション（関数）に対して同じ結果を与える。

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2: 証明

任意のディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）を、ユニークな$v^1,v^2,...,v^n$で$c(t)=v^{1}t,v^{2}t,...,v^{n}t$によって代表させることができる、なぜなら、カーブのpにおけるタンジェント（接線）のみが問題だから。$v^i\frac{\partial f}{\partial x_i}$は、pにおけるデライベイション（微分）であり、なぜなら、$v^i\frac{\partial fg}{\partial x_i}=v^i\frac{\partial f}{\partial x^i}g+f{v}^i\frac{\partial g}{\partial x^i}$、ライプニッツルールを満たして。そのマップ（写像）は、インジェクション（単射）である、なぜなら、2つの異なる$v_1^1,v_1^2,...,v_1^n$および$v_2^1,v_2^2,...,v_2^n$にfを$x^i$として、結果は、$v_1^i$および$v_2^i$、それはあるiに対して異なる。そのマップ（写像）はサージェクション（全射）である、なぜなら、テイラーの剰余付き定理にによって、任意の$C^1$ファンクション（関数）fは、$f(x)=f(p)+(x^i-p^i)f_{r_i}(x)$を満たす、ここで$f_{r_i}(p)=\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)$。その両サイドに、pにおける任意のデライベイション（微分）を作用させると、$D_v(f(x)){|}_p=(D_v((x^i-p^i))){|}_p{f}_{r_i}(p)+(p^i-p^i)(D_v(f_{r_i}(x)){|}_p=(D_v(x^i-p^i)){|}_p{f}_{r_i}(p)+0=(D_v(x^i)){|}_p\frac{\partial f}{\partial x^i}{|}_p$。したがって、pにおける任意のデライベイション（微分）を、$(v^1,v^2,...,v^n)=(D_v(x^1){|}_p,D_v(x^2){|}_p,...,D_v(x^n){|}_p)$を用いて代表させることができる。

任意のデライベイション（微分）の結果は、対応するディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）のそれと同一である、なぜなら、$\frac{df(v^{i}t)}{dt}=\frac{\partial f(x)}{\partial x^i}{v}_i$、チェインルール（連鎖法則）によって。

そのアイソモーフィズム（同形写像）は、チャートの選択に依存しない、なぜなら、ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）は選択に依存せず、デライベイション（微分）は、選択に依存しないディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）に等価だから。

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3: 注

$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）は、ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の、ドメイン（定義域）を$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）たちに制限したものと等価である、なぜなら、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）は$C^1$ファンクション（関数）であり、当該マップ（写像）$\frac{df(v^{i}t)}{dt}\mapsto v^i\frac{\partial f}{\partial x_i}$は任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して通用し、インジェクティブ性とサージェクティブ性は保持され（なぜなら、$C^1$ファンクション（関数）たちに対する証明に使われた材料はこのケースにも使えるから: $x^i$は、$C^1$であると同時に$C^{\mathrm{\infty }}$でもあり、テイラーの定理は、$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）（$C^1$ファンクション（関数）である）にも通用する）、両サイドは、ドメイン（定義域）が制限されただけで同一の結果を与える。"ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の、ドメイン（定義域）を$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）たちに制限したもの"と言わなければならない、なぜなら、$C_p^{\mathrm{\infty }}(M)\to \mathbb{R}$は、$C_p^1(M)\to \mathbb{R}$と厳密に等価であるとは言えないから。

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参考資料

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