57: ポイントにおけるCkファンクション（関数）たちのジャーム（芽）

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ポイントにおける$C^k$ファンクション（関数）たちのジャーム（芽）$C_p^k(M)$の定義

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話題

About: バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上方のファンクション（関数）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ポイントにおける$C^k$ファンクション（関数）たちのジャーム（芽）$C_p^k(M)$の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド$M$、任意のポイント$p\in M$に対して、以下を満たす$\{U_{p,\alpha },f_{\alpha }\}$の同値クラス（類）、ここで、$U_{p,\alpha }$は$p$の任意のネイバーフッド（近傍）で$f_{\alpha }$は任意の$C^k$ファンクション（関数）$f_{\alpha }:U_{p,\alpha }\to \mathbb{R}$、つまり、$(U_{p,{\alpha }_1},f_{{\alpha }_1})\sim (U_{p,{\alpha }_2},f_{{\alpha }_2})$であるのは、もしも、以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$U_{p,{\alpha }_3}$、つまり、$U_{p,{\alpha }_3}\subseteq U_{p,{\alpha }_1}\cap U_{p,{\alpha }_2}$および$U_{p,{\alpha }_3}$上において$f_{{\alpha }_1}=f_{{\alpha }_2}$、がある場合、そしてその場合に限って

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2: 注

厳密に言えば、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）は、$k\ne \mathrm{\infty }$の場合には要求されない、しかし、単にバウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）であることは十分でない、なぜなら、$C^k$性はそこで定義されていないから。

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参考資料

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