グループ（群）たち間マップ（写像）で2要素たちのプロダクト（積）を要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G_1\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(f\): \(: G_1 \to G_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall p_1, p_2 \in G_1 (f (p_1 p_2) = f (p_1) f (p_2))\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）たち\(G_1, G_2\)、任意のマップ（写像）\(f: G_1 \to G_2\)に対して、もしも、各\(p_1, p_2 \in G_1\)に対して\(f (p_1 p_2) = f (p_1) f (p_2)\)である場合、\(f\)はグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）である。
3: 注1
頻繁に見られるある定義によると、\(\forall p_1, p_2 \in G_1 (f (p_1 p_2) = f (p_1) f (p_2))\)が要求されている全てであるが、私たちはそのスタンスを取らない: %ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義に対する注を参照。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はアイデンティティ（単位要素）をアイデンティティ（単位要素）へマップすることを見る; ステップ2: \(f\)は各要素のインバース（逆）を当該要素のイメージ（像）のインバース（逆）へマップすることを見る。
ステップ1:
\(f\)はアイデンティティ（単位要素）をアイデンティティ（単位要素）へマップすることを見よう。
\(f (1) = f (1 1) = f (1) f (1)\)、したがって、\(1 = f (1) {f (1)}^{-1} = f (1) f (1) {f (1)}^{-1} = f (1)\)。
ステップ2:
\(f\)は各要素のインバース（逆）を当該要素のイメージ（像）のインバース（逆）へマップすることを見よう。
各\(p \in G_1\)に対して、\(1 = f (1) = f (p p^{-1}) = f (p) f (p^{-1})\)および\(1 = f (1) = f (p^{-1} p) = f (p^{-1}) f (p)\)、それが意味するのは、\(f (p^{-1}) = {f (p)}^{-1}\)。
5: 注2
\(f\)がアイデンティティ（単位要素）をアイデンティティ（単位要素）へマップすることをいかのようには証明できない: "各\(p \in G_1\)に対して、\(f (p) = f (1 p) = f (p 1) = f (1) f (p) = f (p) f (1)\)"、なぜなら、\(f (p)\)たちは必ずしも\(G_2\)全体をカバーしない。実のところ、それが、頻繁に見られるリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義（%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義に対する注を参照）さえも、マルチプリカティブ（乗法）アイデンティティ（単位要素）をマルチプリカティブ（乗法）アイデンティティ（単位要素）へマップする要求を、定義内に持たなければならない理由である。
