694: グループ（群）たち間マップ（写像）で2要素たちのプロダクト（積）を要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）である

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グループ（群）たち間マップ（写像）で2要素たちのプロダクト（積）を要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注1
• 4: 証明
• 5: 注2

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G_1$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G_2$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$f$: $:G_1\to G_2$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }{p}_1,p_2\in G_1(f(p_1{p}_2)=f(p_1)f(p_2))$
$⟹$
$f\in \{\text{ 全てのグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）たち$G_1,G_2$、任意のマップ（写像）$f:G_1\to G_2$に対して、もしも、各$p_1,p_2\in G_1$に対して$f(p_1{p}_2)=f(p_1)f(p_2)$である場合、$f$はグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）である。

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3: 注1

頻繁に見られるある定義によると、$\mathrm{\forall }{p}_1,p_2\in G_1(f(p_1{p}_2)=f(p_1)f(p_2))$が要求されている全てであるが、私たちはそのスタンスを取らない: %ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義に対する注を参照。

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4: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$はアイデンティティ（単位要素）をアイデンティティ（単位要素）へマップすることを見る; ステップ2: $f$は各要素のインバース（逆）を当該要素のイメージ（像）のインバース（逆）へマップすることを見る。

ステップ1:

$f$はアイデンティティ（単位要素）をアイデンティティ（単位要素）へマップすることを見よう。

$f(1)=f(11)=f(1)f(1)$、したがって、$1=f(1){f(1)}^{-1}=f(1)f(1){f(1)}^{-1}=f(1)$。

ステップ2:

$f$は各要素のインバース（逆）を当該要素のイメージ（像）のインバース（逆）へマップすることを見よう。

各$p\in G_1$に対して、$1=f(1)=f(p{p}^{-1})=f(p)f(p^{-1})$および$1=f(1)=f(p^{-1}p)=f(p^{-1})f(p)$、それが意味するのは、$f(p^{-1})={f(p)}^{-1}$。

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5: 注2

$f$がアイデンティティ（単位要素）をアイデンティティ（単位要素）へマップすることをいかのようには証明できない: "各$p\in G_1$に対して、$f(p)=f(1p)=f(p1)=f(1)f(p)=f(p)f(1)$"、なぜなら、$f(p)$たちは必ずしも$G_2$全体をカバーしない。実のところ、それが、頻繁に見られるリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義（%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義に対する注を参照）さえも、マルチプリカティブ（乗法）アイデンティティ（単位要素）をマルチプリカティブ（乗法）アイデンティティ（単位要素）へマップする要求を、定義内に持たなければならない理由である。

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参考資料

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