ベーシス（基底）はトポロジーを決定することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のベーシス（基底）はトポロジーを決定するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)の任意のベーシス（基底）\(\{B_\alpha\}\)は\(T\)のトポロジーを決定する。
2: 証明
\(T\)上の任意のオープンセット（開集合）\(U\)（任意のポイント\(p \in U\)周りの）に対して、あるオープンセット（開集合）\(U_p \subseteq U\)がある、オープン（開）であることのローカル基準によって。当該ベーシス（基底）内にあるオープンセット（開集合）\(B_\alpha \subseteq U_p\)がある、ベーシス（基底）の定義によって。\(U\)は当該ベーシス（基底）内のそうしたオープンセット（開集合）たちののユニオン（和集合）である、任意のオープンセット（開集合）コレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準によって。
同一のセット（集合）の2つのトポロジーがあってトポロジカルスペース（空間）たち\(T\)および\(T'\)（同一のベーシス（基底）を持つ）をなすと仮定して、\(T\)上の任意のオープンセット（開集合）\(U\)は当該ベーシス（基底）内のいくつかのオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）である、したがって、\(U\)は\(T'\)上のオープンセット（開集合）でもある、そして、同様に、\(T'\)上の任意のオープンセット（開集合）\(U'\)は\(T\)上のオープンセット（開集合）でもある、したがって、\(T = T'\)、それが、本命題が意味することである。
3: 注
したがって、トポロジカルスペース（空間）は'当該ベーシス（基底）によって生成された'と言われることができる。
