326: ベーシス（基底）はトポロジーを決定する

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ベーシス（基底）はトポロジーを決定することの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のベーシス（基底）はトポロジーを決定するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$の任意のベーシス（基底）$\{B_{\alpha }\}$は$T$のトポロジーを決定する。

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2: 証明

$T$上の任意のオープンセット（開集合）$U$（任意のポイント$p\in U$周りの）に対して、あるオープンセット（開集合）$U_p\subseteq U$がある、オープン（開）であることのローカル基準によって。当該ベーシス（基底）内にあるオープンセット（開集合）$B_{\alpha }\subseteq U_p$がある、ベーシス（基底）の定義によって。$U$は当該ベーシス（基底）内のそうしたオープンセット（開集合）たちののユニオン（和集合）である、任意のオープンセット（開集合）コレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準によって。

同一のセット（集合）の2つのトポロジーがあってトポロジカルスペース（空間）たち$T$および$T^{\prime }$（同一のベーシス（基底）を持つ）をなすと仮定して、$T$上の任意のオープンセット（開集合）$U$は当該ベーシス（基底）内のいくつかのオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）である、したがって、$U$は$T^{\prime }$上のオープンセット（開集合）でもある、そして、同様に、$T^{\prime }$上の任意のオープンセット（開集合）$U^{\prime }$は$T$上のオープンセット（開集合）でもある、したがって、$T=T^{\prime }$、それが、本命題が意味することである。

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3: 注

したがって、トポロジカルスペース（空間）は'当該ベーシス（基底）によって生成された'と言われることができる。

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参考資料

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