ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）へのリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: カテゴリー（圏）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から任意の同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのdディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのdディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）サージェクション（全射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意のdディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_1\)、任意のdディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_2\)に対して、任意のリニア（線形）サージェクション（全射）\(f: V_1 \to V_2\)は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）\(\{b_1, b_2, . . ., b_d\}\)を取る; ステップ2: \(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\}\)は\(V_2\)に対するあるベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: \(f\)はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ4: \(f^{-1}\)はリニア（線形）であることを見る。
ステップ1:
\(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）\(\{b_1, b_2, . . ., b_d\}\)を取ろう。
ステップ2:
\(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\}\)は\(V_2\)に対するあるベーシス（基底）であることを見よう。
\(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\}\)は\(V_2\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、そうでなければ、\(V_2 = f (V_1) = \{f (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j b_j)\} = \{\sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j f (b_j)\}\)はdディメンショナル（次元）でないであろう。
\(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\}\)は\(V_2\)をスパンする（張る）、なぜなら、\(V_2 = \{\sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j f (b_j)\}\)。
ステップ3:
\(f\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
以下を満たす各\(p = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j b_j, p' = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} c'^j b_j \in V_1\)、つまり、\(p \neq p'\)、に対して、ある\(j\)に対して\(c^j \neq c'^j\)、したがって、\(f (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j b_j) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j f (b_j) \neq \sum_{j \in \{1, ..., d\}} c'^j f (b_j) = f (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} c'^j b_j)\)、なぜなら、\(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\}\)はベーシス（基底）である。
したがって、\(f\)はバイジェクティブ（全単射）である、そして、インバース（逆）\(f^{-1}\)は存在する。
ステップ4:
\(f^{-1}\)はリニア（線形）であることを見よう。
\(f^{-1} (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j f (b_j)) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j b_j\)、なぜなら、\(f (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j b_j) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j f (b_j)\)、\(= \sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j f^{-1} (f (b_j))\)。
