108: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）へのリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である|T.B.P.日本語版

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）へのリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: カテゴリー（圏）

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から任意の同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

F

\in {全てのフィールド（体）たち}

V_{1}

\in {全てのdディメンショナル（次元） F ベクトルたちスペース（空間）たち}

V_{2}

\in {全てのdディメンショナル（次元） F ベクトルたちスペース（空間）たち}

f

V_{1} \to V_{2}

\in {全てのリニア（線形）サージェクション（全射）たち}

//

ステートメント（言明）たち:

f \in {全ての'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち}

2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）

F

、任意のdディメンショナル（次元）

F

ベクトルたちスペース（空間）

V_{1}

、任意のdディメンショナル（次元）

F

ベクトルたちスペース（空間）

V_{2}

に対して、任意のリニア（線形）サージェクション（全射）

f : V_{1} \to V_{2}

は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

3: 証明

全体戦略: ステップ1:

V_{1}

に対する任意のベーシス（基底）

{b_{1}, b_{2}, . . ., b_{d}}

を取る; ステップ2:

{f (b_{1}), f (b_{2}), . . ., f (b_{d})}

は

V_{2}

に対するあるベーシス（基底）であることを見る; ステップ3:

f

はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ4:

f^{- 1}

はリニア（線形）であることを見る。

ステップ1:

V_{1}

に対する任意のベーシス（基底）

{b_{1}, b_{2}, . . ., b_{d}}

を取ろう。

ステップ2:

{f (b_{1}), f (b_{2}), . . ., f (b_{d})}

は

V_{2}

に対するあるベーシス（基底）であることを見よう。

{f (b_{1}), f (b_{2}), . . ., f (b_{d})}

は

V_{2}

上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、そうでなければ、

V_{2} = f (V_{1}) = {f (\sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{j} b_{j})} = {\sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{j} f (b_{j})}

はdディメンショナル（次元）でないであろう。

{f (b_{1}), f (b_{2}), . . ., f (b_{d})}

は

V_{2}

をスパンする（張る）、なぜなら、

V_{2} = {\sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{j} f (b_{j})}

。

ステップ3:

f

はインジェクティブ（単射）であることを見よう。

以下を満たす各

p = \sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{j} b_{j}, p^{'} = \sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{' j} b_{j} \in V_{1}

、つまり、

p \neq p^{'}

、に対して、ある

j

に対して

c^{j} \neq c^{' j}

、したがって、

f (\sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{j} b_{j}) = \sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{j} f (b_{j}) \neq \sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{' j} f (b_{j}) = f (\sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{' j} b_{j})

、なぜなら、

{f (b_{1}), f (b_{2}), . . ., f (b_{d})}

はベーシス（基底）である。

したがって、

f

はバイジェクティブ（全単射）である、そして、インバース（逆）

f^{- 1}

は存在する。

ステップ4:

f^{- 1}

はリニア（線形）であることを見よう。

f^{- 1} (\sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{j} f (b_{j})) = \sum_{j \in {1, . . ., d}} c^{j} b_{j}