有限次元ベクトルスペース（空間）から同一次元ベクトルスペース（空間）へのリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルスペース（空間）
About: カテゴリー（圏）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）から任意の同一次元ベクトルスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の有限次元ベクトルスペース（空間）\(V_1\)および任意の同一次元ベクトルスペース（空間）\(V_2\)に対して、任意のリニア（線形）サージェクション（全射）\(f: V_1 \rightarrow V_2\)は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
2: 証明
\(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）\((b_1, b_2, . . ., b_d)\)に対して、\(f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\)は\(V_2\)上でリニア的にインディペンデント（線形独立）である、なぜなら、さもなければ、\(V_2 = {f (c^i b_i)} = {c^i f (b_i)}\)はd次元ではないことになるだろう、そして、\(f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\)は spans \(V_2\)をスパンする（覆い尽くす）、なぜなら、\(V_2 = {c^i f (b_i)}\)だから、したがって、\(f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\)は\(V_2\)に対するベーシス（基底）である。\(f\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、\(V_1\)上の互いに異なるベクトルたち\(c^i b_i\)および\(c'^i b_i\)に対して、ある\(i\)に対して\(c^i \neq c'^i\)、したがって、\(f (c^i b_i) = c^i f (b_i) \neq c'^i f (b_i) = f (c'^i b_i)\)、したがって、\(f\)はバイジェクション（全単射）である。インバース（逆）\(f^{-1}\)はリニア（線形）である、なぜなら、\(f^{-1} (c^i f (b_i)) = c^i b_i = c^i f^{-1} (f (b_i))\)。したがって、\(f\)と\(f^{-1}\)のペアは'全ベクトルスペース（空間）たちおよび全リニア（線形）モーフィズム（射）たち'のカテゴリーのアイソモーフィズム（同形写像）をなす。
