117: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のリニア（線形）レンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）である

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のリニア（線形）レンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のレンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V_1$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$f$: $V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f(V_1)\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）$F$ベクトルたちスペース（空間）$V_1$、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V_2$ 、任意のリニア（線形）マップ（写像）$f:V_1\to V_2$に対して、$f$のレンジ（値域）$f(V_1)$は$F$ベクトルたちスペース（空間）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $V_1$に対する任意のベーシス（基底）$\{b_1,b_2,...,b_d\}$を取る; ステップ2: $\{f(b_1),f(b_2),...,f(b_d)\}$の任意のマキシマル（極大）リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）$\{f(b_1),f(b_2),...,f(b_r)\}$を、$V_1$に対するベーシス（基底）のインデックスを付け替えて、取る; ステップ3: $\{f(b_1),f(b_2),...,f(b_r)\}$によってスパンされる（張られる）スペース（空間）は$f(V_1)$であることを見る。

ステップ1:

Let us take any basis for $V_1$, $\{b_1,b_2,...,b_d\}$. $V_1$に対する任意のベーシス（基底）$\{b_1,b_2,...,b_d\}$を取る。

Step 2: ステップ2:

$\{f(b_1),f(b_2),...,f(b_d)\}$の任意のマキシマル（極大）リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）を取ろう。

それが意味するのは以下の通り: もしも、$\{f(b_1),f(b_2),...,f(b_d)\}$がリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、それが求めるもの; もしも、そうでなければ、ある$f(b_j)$は残りのあるリニアコンビネーション（線形結合）である、$f(b_j)$を取り除き、もしも、残されたものたちがリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、それが求めるもの; もしも、そうでなければ、ある$f(b_k)$は残りのあるリニアコンビネーション（線形結合）である、$f(b_k)$を取り除き、もしも、残されたものたちがリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、それが求めるもの; 等々と続く。もしも、何も残らなければ、$f(V_1)$は0ベクトルたちスペース（空間）である、それは、一種のベクトルたちスペース（空間）であり、完了である。これ以降は、そうでないと仮定しよう。

私たちは、あるリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）を持っている、しかし、$\{b_1,b_2,...,b_d\}$のインデックスを付け替えることにより、私たちは、$\{f(b_1),f(b_2),...,f(b_r)\}$がそのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）であると言える。

ステップ3:

$\{f(b_1),f(b_2),...,f(b_r)\}$によってスパンされるスペース（空間）$V$が$f(V_1)$であることを見よう。

$f(\sum _{j\in \{1,...,d\}}{c}^j{b}_j)\in f(V_1)$は任意のものであるとしよう。$f(\sum _{j\in \{1,...,d\}}{c}^j{b}_j)=\sum _{j\in \{1,...,d\}}{c}^{j}f(b_j)$、しかし、各$r<j$に対する$f(b_j)$は$\{f(b_1),f(b_2),...,f(b_r)\}$のリニアコンビネーション（線形結合）であるから、それは、$\sum _{j\in \{1,...,r\}}{c}^{\prime j}f(b_j)\in V$。したがって、$f(V_1)\subseteq V$。

$\sum _{j\in \{1,...,r\}}{c}^{\prime j}f(b_j)\in V$は任意のものであるとしよう。$\sum _{j\in \{1,...,r\}}{c}^{\prime j}{b}_j\in V_1$を取ろう。すると、$f(\sum _{j\in \{1,...,r\}}{c}^{\prime j}{b}_j)=\sum _{j\in \{1,...,r\}}{c}^{\prime j}f(b_j)$。したがって、$V\subseteq f(V_1)$。

したがって、$f(V_1)=V$。

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参考資料

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