ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のリニア（線形）レンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のレンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (V_1) \in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_1\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_2\) 、任意のリニア（線形）マップ（写像）\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(f\)のレンジ（値域）\(f (V_1)\)は\(F\)ベクトルたちスペース（空間）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）\(\{b_1, b_2, . . ., b_d\}\)を取る; ステップ2: \(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\}\)の任意のマキシマル（極大）リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_r)\}\)を、\(V_1\)に対するベーシス（基底）のインデックスを付け替えて、取る; ステップ3: \(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_r)\}\)によってスパンされる（張られる）スペース（空間）は\(f (V_1)\)であることを見る。
ステップ1:
Let us take any basis for \(V_1\), \(\{b_1, b_2, . . ., b_d\}\). \(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）\(\{b_1, b_2, . . ., b_d\}\)を取る。
Step 2: ステップ2:
\(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\}\)の任意のマキシマル（極大）リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）を取ろう。
それが意味するのは以下の通り: もしも、\(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\}\)がリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、それが求めるもの; もしも、そうでなければ、ある\(f (b_j)\)は残りのあるリニアコンビネーション（線形結合）である、\(f (b_j)\)を取り除き、もしも、残されたものたちがリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、それが求めるもの; もしも、そうでなければ、ある\(f (b_k)\)は残りのあるリニアコンビネーション（線形結合）である、\(f (b_k)\)を取り除き、もしも、残されたものたちがリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、それが求めるもの; 等々と続く。もしも、何も残らなければ、\(f (V_1)\)は0ベクトルたちスペース（空間）である、それは、一種のベクトルたちスペース（空間）であり、完了である。これ以降は、そうでないと仮定しよう。
私たちは、あるリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）を持っている、しかし、\(\{b_1, b_2, . . ., b_d\}\)のインデックスを付け替えることにより、私たちは、\(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_r)\}\)がそのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）であると言える。
ステップ3:
\(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_r)\}\)によってスパンされるスペース（空間）\(V\)が\(f (V_1)\)であることを見よう。
\(f (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j b_j) \in f (V_1)\)は任意のものであるとしよう。\(f (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} c^j b_j) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}}c^j f (b_j)\)、しかし、各\(r \lt j\)に対する\(f (b_j)\)は\(\{f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_r)\}\)のリニアコンビネーション（線形結合）であるから、それは、\({\sum_{j \in \{1, ..., r\}}c'^j f (b_j)} \in V\)。したがって、\(f (V_1) \subseteq V\)。
\(\sum_{j \in \{1, ..., r\}} c'^j f (b_j) \in V\)は任意のものであるとしよう。\(\sum_{j \in \{1, ..., r\}} c'^j b_j \in V_1\)を取ろう。すると、\(f (\sum_{j \in \{1, ..., r\}} c'^j b_j) = \sum_{j \in \{1, ..., r\}} c'^j f (b_j)\)。したがって、\(V \subseteq f (V_1)\)。
したがって、\(f (V_1) = V\)。
