有限次元ベクトルスペース（空間）のリニア（線形）イメージ（像）はベクトルスペース（空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のイメージ（像）はベクトルスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の有限次元ベクトルスペース（空間）\(V_1\)、任意のベクトルスペース（空間）\(V_2\)、任意のリニア（線形）マップ（写像）\(f: V_1 \rightarrow V_2\)に対して、そのマップ（写像）のイメージ（像）\(f (V_1)\)はベクトルスペース（空間）である。
2: 証明
\(V_1\)の任意のベーシス（基底）\(b_1, b_2, . . ., b_d\)に対して、\(f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_d)\)は\(V_2\)上でリニアインディペンデント（線形独立）かもしれないしそうでないかもしれない、しかし、もしもそうでなければ、ある\(f (b_i)\)は残りのリニア（線形）コンビネーションであり、残りはリニアインディペンデント（線形独立）であるかもしれないしそうでないかもしれない、しかし、もしそうでなければ、残りの中のある\(f (b_i)\)は新たな残りのリニア（線形）コンビネーションである、と続き、結局、\(f (b_1), f (b_2), . . ., f (b_r) = (b'_1, b'_2, . . ., b'_r)\)はリニアインディペンデント（線形独立）である、もしも必要であれば\(V_1\)のベーシス（基底）のインデックスたちを付け替えて。\(f (V_1) = {f (c^i b_i)} = {c^i f (b_i)} = {c'^i b'_i}\)。問題は、いかなるコンビネーション\((c'^1, c'^2, . . ., c'^r)\)も\((c^1, c^2, . . ., c^d)\)のあるコンビネーションで実現できるかである。実のところ、できる、なぜなら、\((c^1, c^2, . . ., c^d) = (c'^1, c'^2, . . ., c'^r, 0, . . ., 0)\)で十分だから。
