ドメイン（定義域）制限されたマップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限されたドメイン（定義域）とのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_3 \in S_1, S_4 \in S_2\)、ドメイン（定義域）制限\(f|_{S_3}: S_3 \rightarrow S_2\)に対して、\({f|_{S_3}}^{-1} (S_4) = f^{-1} (S_4) \cap S_3\)。
2: 証明
任意の\(p \in {f|_{S_3}}^{-1} (S_4)\)に対して、\(f|_{S_3} (p) = f (p) \in S_4\)、任意の集合間マップ（写像）に対して、任意のポイントのイメージ（像）は任意のサブセット（部分集合）上にある、もしも、そのポイントがそのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）上にある場合、そしてその場合に限ってという命題によって、したがって、\(p \in f^{-1} (S_4)\)。勿論、\(p \in S_3\)、したがって、\(p \in f^{-1} (S_4) \cap S_3\)。
任意の\(p \in f^{-1} (S_4) \cap S_3\)に対して、\(f (p) \in S_4\)、 by 任意の集合間マップ（写像）に対して、任意のポイントのイメージ（像）は任意のサブセット（部分集合）上にある、もしも、そのポイントがそのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）上にある場合、そしてその場合に限ってという命題によって。\(p \in S_3\)なので、\(f (p) = f|_{S_3} (p) \in S_4\)、したがって、\(p \in {f|_{S_3}}^{-1} (S_4)\)。
