332: ドメイン（定義域）制限されたマップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限されたドメイン（定義域）とのインターセクション（共通集合）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ドメイン（定義域）制限されたマップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限されたドメイン（定義域）とのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明

---

話題

About: セット（集合）
About: マップ（写像）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_3\in S_1,S_4\in S_2$、ドメイン（定義域）制限$f{|}_{S_3}:S_3\to S_2$に対して、${f{|}_{S_3}}^{-1}(S_4)=f^{-1}(S_4)\cap S_3$。

---

2: 証明

任意の$p\in {f{|}_{S_3}}^{-1}(S_4)$に対して、$f{|}_{S_3}(p)=f(p)\in S_4$、任意の集合間マップ（写像）に対して、任意のポイントのイメージ（像）は任意のサブセット（部分集合）上にある、もしも、そのポイントがそのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）上にある場合、そしてその場合に限ってという命題によって、したがって、$p\in f^{-1}(S_4)$。勿論、$p\in S_3$、したがって、$p\in f^{-1}(S_4)\cap S_3$。

任意の$p\in f^{-1}(S_4)\cap S_3$に対して、$f(p)\in S_4$、 by 任意の集合間マップ（写像）に対して、任意のポイントのイメージ（像）は任意のサブセット（部分集合）上にある、もしも、そのポイントがそのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）上にある場合、そしてその場合に限ってという命題によって。$p\in S_3$なので、$f(p)=f{|}_{S_3}(p)\in S_4$、したがって、$p\in {f{|}_{S_3}}^{-1}(S_4)$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>