348: トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、クローズドセット（閉集合）およびそれを包含オープンセット（開集合）に対して、クローズドセット（閉集合）を包含するオープンセット（開集合）（その〜）がある場合、そしてその場合に限って

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トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、クローズドセット（閉集合）およびそれを包含オープンセット（開集合）に対して、クローズドセット（閉集合）を包含するオープンセット（開集合）（その〜）がある場合、そしてその場合に限ってであることの記述および証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、任意のクローズドセット（閉集合）およびそれを包含する任意のオープンセット（開集合）に対して、クローズドセット（閉集合）を包含するオープンセット（開集合）で、そのクロージャー（閉包）が前者オープンセット（開集合）に包含されているものがある場合、そしてその場合に限ってであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$はノーマル（正規）である、もしも、任意のクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T$および以下を満たす任意のオープンセット（開集合）$U_1\subseteq T$、つまり、$C\subseteq U_1$、に対して、以下を満たすオープンセット（開集合）$U_2\subseteq T$、つまり、$C\subseteq U_2\subseteq \overline{U_2}\subseteq U_1$、ここで$\overline{U_2}$は$U_2$のクロージャー（閉包）、がある場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$T$はノーマル（正規）であると仮定する。Cおよび$U_1$があると仮定する。$C_2:=T\setminus U_1$はクローズド（閉）であり、Cと$C_2$はディスジョイント（互いに素）である。以下を満たすディスジョイント（互いに素）なオープンセット（開集合）たち$U_2,U_3\subseteq T$、つまり、$C\subseteq U_2$および$C_2\subseteq U_3$、がある。$C_4:=T\setminus U_3$はクローズド（閉）であり、$C_2=T\setminus U_1\subseteq U_3=T\setminus C_4$、したがって、$C_4\subseteq U_1$。$U_2$と$U_3$はディスジョイント（互いに素）である、$U_2\subseteq T\setminus U_3=C_4$。したがって、$U_2\subseteq C_4\subseteq U_1$、しかし、$\overline{U_2}$は、$U_2$を包含する全てのクローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）であるから、$U_2\subseteq \overline{U_2}\subseteq C_4$。したがって、$C\subseteq U_2\subseteq \overline{U_2}\subseteq U_1$。

Cおよび$U_1$に対して、以下を満たす$U_2$、つまり、$C\subseteq U_2\subseteq \overline{U_2}\subseteq U_1$があると仮定する。任意のディスジョイント（互いに素）なクローズドセット（閉集合）たち$C_1,C_2\subseteq T$に対して、$U_1:=T\setminus C_2$はオープン（開）であり、$C_1\subseteq U_1$。したがって、以下を満たすオープンセット（開集合）$U_2\subseteq T$、つまり、$C_1\subseteq U_2\subseteq \overline{U_2}\subseteq U_1$がある。$\overline{U_2}$はクローズド（閉）であるので、$U_3:=T\setminus \overline{U_2}$はオープン（開）であり、$T\setminus U_3=\overline{U_2}\subseteq U_1=T\setminus C_2$、それが意味するのは、$C_2\subseteq U_3$。$U_3=T\setminus \overline{U_2}\subseteq T\setminus U_2$であるので、$U_2$および$U_3$はディスジョイント（互いに素）である。

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参考資料

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