380: ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）はサブネットのコンバージェンス（収束ポイント）である

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ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）はサブネットのコンバージェンス（収束ポイント）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
• 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのサブネットの定義を知っている。
• 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）の定義 を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネット、の任意のアキュームレーションバリュー（集積値）はあるサブネットのコンバージェンス（収束ポイント）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のダイレクテッドセット（有向集合）$S_1$、任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネット$f_1:S_1\to T$、$f_1$の任意のアキュームレーションバリュー（集積値）$p\in T$に対して、$f_1$の以下を満たすあるサブネット$f_1\circ f_2:S_2\to T$、ここで、$S_2$はあるダイレクテッドセット（有向集合）、$f_2:S_2\to S_1$、つまり、$p$$f_1\circ f_2$のコンバージェンス（収束ポイント）である、がある。

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2: 証明

$S_2$を、$\{(\alpha ,N_p)|\alpha \in S_1,N_p\text{ is any neighborhood of }p\text{ such that }{f}_1(\alpha )\in N_p\}$で、リレーション（関係）、$({\alpha }_1,N_{p-1})\le ({\alpha }_2,N_{p-2})$であるのは、もしも、${\alpha }_1\le {\alpha }_2$および$N_{p-2}\subseteq N_{p-1}$である場合、そしてその場合に限って、を持つものとして定義しよう、ここで、各$\alpha$に対して、少なくとも1つのそういう$N_p$がある、なぜなら、$p$のあるネイバーフッド（近傍）があり、$f_1(\alpha )$のあるネイバーフッド（近傍）があり、それら2ネイバーフッド（近傍）たちのユニオン（和集合）はそういうものである（$N_p$はコネクテッド（連結）である必要はない）。注意として、全ての可能なペアたちが$S_2$内に含まれる。

$S_2$は実際、ダイレクテッドセット（有向集合）である、なぜなら、1) $({\alpha }_1,N_{p-1})\le ({\alpha }_1,N_{p-1})$; 2) もしも、$({\alpha }_1,N_{p-1})\le ({\alpha }_2,N_{p-2})$および$({\alpha }_2,N_{p-2})\le ({\alpha }_3,N_{p-3})$であれば、$({\alpha }_1,N_{p-1})\le ({\alpha }_3,N_{p-3})$; 3) 任意の$({\alpha }_1,N_{p-1})$および$({\alpha }_2,N_{p-2})$に対して、以下を満たすある$({\alpha }_3,N_{p-3})$、つまり、$({\alpha }_1,N_{p-1})\le ({\alpha }_3,N_{p-3})$および$({\alpha }_2,N_{p-2})\le ({\alpha }_3,N_{p-3})$がある、なぜなら、ダイレクテッドセット（有向集合）の定義によって、以下を満たすある${\alpha }_4$、つまり、${\alpha }_1\le {\alpha }_4$および${\alpha }_2\le {\alpha }_4$、があり、$p$はアキュームレーションバリュー（集積値）であるから、以下を満たすある${\alpha }_3$、つまり、${\alpha }_4\le {\alpha }_3$および$f_1({\alpha }_3)\in N_{p-1}\cap N_{p-2}:=N_{p-3}$、がある、すると、${\alpha }_1\le {\alpha }_3$および${\alpha }_2\le {\alpha }_3$および$N_{p-3}\subseteq N_{p-1}$および$N_{p-3}\subseteq N_{p-2}$。

$f_2$を、$(\alpha ,N_p)\mapsto \alpha$として定義しよう、それはファイナルである、なぜなら、任意の$\alpha$に対して、$\alpha \le f_2((\alpha ,N_p))=\alpha$。

$p$は$f_1\circ f_2$のコンバージェンス（収束ポイント）である、なぜなら、$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_{p-0}$に対して、ある$({\alpha }_0,N_{p-0})$がある、なぜなら、$p$は$f_1$のアキュームレーションバリュー（集積値）であるから、そして、各$({\alpha }_0,N_{p-0})\le (\alpha ,N_p)$に対して、$f_1\circ f_2((\alpha ,N_p))=f_1(\alpha )\in N_{p-0}$、なぜなら、$f_1(\alpha )\in N_p\subseteq N_{p-0}$。

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参考資料

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