ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）はサブネットのコンバージェンス（収束ポイント）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットの任意のアキュームレーションバリュー（集積値）はあるサブネットのあるコンバージェンス（収束ポイント）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(D_2\): \(\in \{\text{ 全てのダイレクテッドセット（有向集合）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f_2\): \(: D_2 \to T\)
\(t\): \(\in \{f_2 \text{ の全てのアキュームレーションバリュー（集積値）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists D_1 \in \{\text{ 全てのダイレクテッドセット（有向集合）たち }\}, \exists f_1: D_1 \to D_2 \in \{\text{ 全てのファイナルマップ（写像）たち }\} (t \in \{f_2 \circ f_1 \text{ の全てのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(D_1 := \{(d, U_t) \in D_2 \times \{t \text{ の } T \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} \vert f_2 (d) \in U_t\}\)で、以下を満たすリレーション（関係）、つまり、\((d_1, U_{t, 1}) \le (d_2, U_{t, 2})\)、もしも、\(d_1 \le d_2\)および\(U_{t, 2} \subseteq U_{t, 1}\)である場合、そしてその場合に限って、を持つもの、を定義し、\(D_1\)はあるダイレクテッドセット（有向集合）であることを見る; ステップ2: \(f_1: (d, U_t) \mapsto d\)を定義し、\(f_1\)はファイナルであることを見る; ステップ3: \(f_2 \circ f_1\)は\(t\)へコンバージ（収束）することを見る。
ステップ1:
\(D_1 := \{(d, U_t) \in D_2 \times \{t \text{ の } T \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} \vert f_2 (d) \in U_t\}\)を定義しよう。
各\(d \in D_2\)に対して、少なくとも\(1\)個のそうした\(U_t\)がある、なぜなら、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）および\(f_2 (d)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）があり、当該ネイバーフッド（近傍）たちのユニオン（和集合）はある\(U_t\)である: \(U_t\)はコネクテッド（連結された）である必要はない。
\(D_1\)上の以下を満たすリレーション（関係）、つまり、\((d_1, U_{t, 1}) \le (d_2, U_{t, 2})\)、もしも、\(d_1 \le d_2\)および\(U_{t, 2} \subseteq U_{t, 1}\)である場合、そしてその場合に限って、を定義しよう。
\(D_1\)はあるダイレクテッドセット（有向集合）である、なぜなら、1) \((d_1, U_{t, 1}) \leq (d_1, U_{t, 1})\); 2) もしも、\((d_1, U_{t, 1}) \leq (d_2, U_{t, 2})\)および\((d_2, U_{t, 2}) \leq (d_3, U_{t, 3})\)である場合、\((d_1, U_{t, 1}) \leq (d_3, U_{t, 3})\)、なぜなら、\(d_1 \le d_2 \le d_3\)および\(U_{t, 3} \subseteq U_{t, 2} \subseteq U_{t, 1}\); 3) 任意の\((d_1, U_{t, 1})\)および\((d_2, U_{t, 2})\)に対して、以下を満たすある\((d_3, U_{t, 3})\)、つまり、\((d_1, U_{t, 1}) \leq (d_3, U_{t, 3})\)および\((d_2, U_{t, 2}) \leq (d_3, U_{t, 3})\)、がある、なぜなら、ダイレクテッドセット（有向集合）の定義によって、以下を満たすある\(d_4\)、つまり、\(d_1 \leq d_4\)および\(d_2 \leq d_4\)、がある、そして、\(t\)はあるアキュームレーションバリュー（集積値）であるから、以下を満たすある\(d_3\)、つまり、\(d_4 \leq d_3\)および\(f_2 (d_3) \in U_{t, 1} \cap U_{t, 2} := U_{t, 3}\)、がある、すると、\(d_1 \leq d_3\)および\(d_2 \leq d_3\)および\(U_{t, 3} \subseteq U_{t, 1}\)および\(U_{t, 3} \subseteq U_{t, 2}\)。
ステップ2:
\(f_1\)を\(: (d, U_t) \mapsto d\)と定義しよう、それは、ファイナルである、なぜなら、任意の\(d \in D_2\)に対して、ある\((d, U_t) \in D_1\)がある、それは、以下を満たす、つまり、\((d, U_t) \le (d', U'_t)\)を満たす各\((d', U'_t) \in D_1\)に対して、\(d \le f_1 ((d', U'_t)) = d'\)。
ステップ3:
\(t\)は\(f_2 \circ f_1\)のあるコンバージェンス（収束ポイント）である、なぜなら、\(t\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, 0}\)に対して、ある\((d_0, U_{t, 0})\)がある、なぜなら、\(t\)は\(f_2\)のあるアキュームレーションバリュー（集積値）である、そして、\((d_0, U_{t, 0}) \leq (d, U_t)\)を満たす各\((d, U_t) \in D_1\)に対して、\(f_2 \circ f_1 ((d, U_t)) = f_2 (d) \in U_{t, 0}\)、なぜなら、\(f_2 (d) \in U_t \subseteq U_{t, 0}\)。
