ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）はサブネットのコンバージェンス（収束ポイント）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのサブネットの定義を知っている。
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）の定義 を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネット、の任意のアキュームレーションバリュー（集積値）はあるサブネットのコンバージェンス（収束ポイント）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のダイレクテッドセット（有向集合）\(S_1\)、任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネット\(f_1: S_1 \rightarrow T\)、\(f_1\)の任意のアキュームレーションバリュー（集積値）\(p \in T\)に対して、\(f_1\)の以下を満たすあるサブネット\(f_1 \circ f_2: S_2 \rightarrow T\)、ここで、\(S_2\)はあるダイレクテッドセット（有向集合）、\(f_2: S_2 \rightarrow S_1\)、つまり、\(p\)\(f_1 \circ f_2\)のコンバージェンス（収束ポイント）である、がある。
2: 証明
\(S_2\)を、\(\{ (\alpha, N_p)\vert \alpha \in S_1, N_p \text{ is any neighborhood of } p \text{ such that } f_1 (\alpha) \in N_p\}\)で、リレーション（関係）、\((\alpha_1, N_{p-1}) \leq (\alpha_2, N_{p-2})\)であるのは、もしも、\(\alpha_1 \leq \alpha_2\)および\(N_{p-2} \subseteq N_{p-1}\)である場合、そしてその場合に限って、を持つものとして定義しよう、ここで、各\(\alpha\)に対して、少なくとも1つのそういう\(N_p\)がある、なぜなら、\(p\)のあるネイバーフッド（近傍）があり、\(f_1 (\alpha)\)のあるネイバーフッド（近傍）があり、それら2ネイバーフッド（近傍）たちのユニオン（和集合）はそういうものである（\(N_p\)はコネクテッド（連結）である必要はない）。注意として、全ての可能なペアたちが\(S_2\)内に含まれる。
\(S_2\)は実際、ダイレクテッドセット（有向集合）である、なぜなら、1) \((\alpha_1, N_{p-1}) \leq (\alpha_1, N_{p-1})\); 2) もしも、\((\alpha_1, N_{p-1}) \leq (\alpha_2, N_{p-2})\)および\((\alpha_2, N_{p-2}) \leq (\alpha_3, N_{p-3})\)であれば、\((\alpha_1, N_{p-1}) \leq (\alpha_3, N_{p-3})\); 3) 任意の\((\alpha_1, N_{p-1})\)および\((\alpha_2, N_{p-2})\)に対して、以下を満たすある\((\alpha_3, N_{p-3})\)、つまり、\((\alpha_1, N_{p-1}) \leq (\alpha_3, N_{p-3})\)および\((\alpha_2, N_{p-2}) \leq (\alpha_3, N_{p-3})\)がある、なぜなら、ダイレクテッドセット（有向集合）の定義によって、以下を満たすある\(\alpha_4\)、つまり、\(\alpha_1 \leq \alpha_4\)および\(\alpha_2 \leq \alpha_4\)、があり、\(p\)はアキュームレーションバリュー（集積値）であるから、以下を満たすある\(\alpha_3\)、つまり、\(\alpha_4 \leq \alpha_3\)および\(f_1 (\alpha_3) \in N_{p-1} \cap N_{p-2} := N_{p-3}\)、がある、すると、\(\alpha_1 \leq \alpha_3\)および\(\alpha_2 \leq \alpha_3\)および\(N_{p-3} \subseteq N_{p-1}\)および\(N_{p-3} \subseteq N_{p-2}\)。
\(f_2\)を、\((\alpha, N_p) \mapsto \alpha\)として定義しよう、それはファイナルである、なぜなら、任意の\(\alpha\)に対して、\(\alpha \leq f_2 ((\alpha, N_p)) = \alpha\)。
\(p\)は\(f_1 \circ f_2\)のコンバージェンス（収束ポイント）である、なぜなら、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{p-0}\)に対して、ある\((\alpha_0, N_{p-0})\)がある、なぜなら、\(p\)は\(f_1\)のアキュームレーションバリュー（集積値）であるから、そして、各\((\alpha_0, N_{p-0}) \leq (\alpha, N_p)\)に対して、\(f_1 \circ f_2 ((\alpha, N_p)) = f_1 (\alpha) \in N_{p-0}\)、なぜなら、\(f_1 (\alpha) \in N_p \subseteq N_{p-0}\)。
