162: C∞エンベディング（埋め込み）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）の定義

---

話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンの定義を知っている。
• 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）の定義を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$\ast f$: $:M_1\to M_2$
$f^{\prime }$: $:M_1\to f(M_1)\subseteq M_2$, $=f\text{ のコドメインリストリクション（制限） }$
//

コンディションたち:
$f\in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}\cap \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ イマージョンたち }\}$
$\wedge$
$f^{\prime }\in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}$
//

---

2: 自然言語記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、$M_1,M_2$に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）$f:M_1\to M_2$、つまり、$f$はインジェクティブ（単射）$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであり、コドメイン（余域）リストリクション（制限）$f^{\prime }:M_1\to f(M_1)\subseteq M_2$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である

---

3: 注

'コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）'と'$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）'は別のものである: 任意の$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である一方で、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）は必ずしも$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）でない。

しばしば、単に'エンベディング（埋め込み）'が使われる、どちらであるかはしばしば明らかであるから: 非$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）は、$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）であり得ないし、ある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）の（単なる）エンベディング（埋め込み）性は、慣習として、$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）性と理解される。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>