\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)イマージョンの定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(*f\): \(: M_1 \to M_2\)
\( f'\): \(: M_1 \to f (M_1) \subseteq M_2\), \(= f \text{ のコドメインリストリクション（制限） }\)
//
コンディションたち:
\(f \in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\} \cap \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ イマージョンたち }\}\)
\(\land\)
\(f' \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(M_1, M_2\)に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: M_1 \to M_2\)、つまり、\(f\)はインジェクティブ（単射）\(C^\infty\)イマージョンであり、コドメイン（余域）リストリクション（制限）\(f': M_1 \to f (M_1) \subseteq M_2\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である
3: 注
'コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）'と'\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）'は別のものである: 任意の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である一方で、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）は必ずしも\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）でない。
しばしば、単に'エンベディング（埋め込み）'が使われる、どちらであるかはしばしば明らかであるから: 非\(C^\infty\)マップ（写像）は、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であり得ないし、ある\(C^\infty\)マップ（写像）の（単なる）エンベディング（埋め込み）性は、慣習として、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）性と理解される。
