2022年10月9日日曜日

147: コネクテッド(連結された)トポロジカルスペース(空間)のオープンカバーの要素たちペアはカバー要素たちを介して有限数オープンセット(開集合)たちシーケンスコネクテッド(連結された)である

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コネクテッド(連結された)トポロジカルスペース(空間)のオープンカバーの要素たちペアはカバー要素たちを介して有限数オープンセット(開集合)たちシーケンスコネクテッド(連結された)であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のコネクテッド(連結された)トポロジカルスペース(空間)の任意のオープンカバーの任意の要素たちペアは、当該オープンカバーのいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット(開集合)たちシーケンスコネクテッド(連結された)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。


本体


1: 記述


任意のコネクテッド(連結された)トポロジカルスペース(空間)\(T\)および任意のオープンカバー\(S_c = \{U_\alpha\}, \cup_\alpha U_\alpha = T\)に対して、任意の要素たちペア\(U_1, U_2 \in S_c\)は、\(S_c\)のいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット(開集合)たちシーケンスコネクテッド(連結された)である。


2: 証明


当該オープンカバーのイクイバレンス(同値)クラス\(S_e = \{U_\beta\} \subseteq S_c\)を、当イクイバレンス(同値)クラスの各要素は\(U_1\)と、\(S_c\)のいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット(開集合)たちシーケンスコネクテッド(連結された)であるものであるというように取ると、それは明らかにイクイバレンス(同値)クラスである。

もしも、\(S_e\)が\(S_c\)に一致しなければ、\(S_r := S_c \setminus S_e = \{U_\gamma\}\)は空でないということになる。\(S_e \cup S_r = S_c\)はオープンカバーだから、\((\cup_\beta U_\beta) \cup (\cup_\gamma U_\gamma) = T\)、しかし、\(T\)はコネクテッド(連結された)であるから、\((\cup_\beta U_\beta) \cap (\cup_\gamma U_\gamma) \neq \emptyset\)、なぜなら、そうでなければ、\(T\)は、オープンセット(開集合)たち\(\cup_\beta U_\beta\)および\(\cup_\gamma U_\gamma\)のディスジョイント(互いに素)なユニオン(共通集合)だということになる。したがって、以下を満たすあるポイント\(p \in T\)、つまり、\(p \in \cup_\beta U_\beta\)および\(p \in \cup_\gamma U_\gamma\)、があることになる、それが意味するのは、ある\(\beta\)に対して\(p \in U_\beta\)およびある\(\gamma\)に対して\(p \in U_\gamma\)、したがって、\(p \in U_\beta \cap U_\gamma\)、それは矛盾である、なぜなら、\(U_\gamma\)は\(U_\beta\)とあるポイントを共有することになるから、\(U_\gamma\)は\(U_1\)と有限数オープンセット(開集合)たちシーケンスコネクテッド(連結された)であるということになる。したがって、\(S_e\)は\(S_c\)に等しい。

したがって、\(U_2 \in S_e\)、そして、\(U_1\)と\(U_2\)は\(S_c\)のいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット(開集合)たちシーケンスコネクテッド(連結された)である。


3: 注


あらゆるコネクテッド(連結された)トポロジカルスペース(空間)がパスコネクテッド(連結された)であるわけではないが、任意のコネクテッド(連結された)トポロジカルスペース(空間)の任意のオープンセット(開集合)たちペアはオープンセット(開集合)の方法によってコネクテッド(連結された)である。


参考資料


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