147: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のオープンカバーの要素たちペアはカバー要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）である

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コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のオープンカバーの要素たちペアはカバー要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）オープンセット（開集合）たちペアの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンカバーの任意の要素たちペアは、当該オープンカバーのいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）$T$および任意のオープンカバー$S_c=\{U_{\alpha }\},{\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }=T$に対して、任意の要素たちペア$U_1,U_2\in S_c$は、$S_c$のいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）である。

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2: 証明

当該オープンカバーのイクイバレンス（同値）クラス$S_e=\{U_{\beta }\}\subseteq S_c$を、当イクイバレンス（同値）クラスの各要素は$U_1$と、$S_c$のいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるものであるというように取ると、それは明らかにイクイバレンス（同値）クラスである。

もしも、$S_e$が$S_c$に一致しなければ、$S_r:=S_c\setminus S_e=\{U_{\gamma }\}$は空でないということになる。$S_e\cup S_r=S_c$はオープンカバーだから、$({\cup }_{\beta }{U}_{\beta })\cup ({\cup }_{\gamma }{U}_{\gamma })=T$、しかし、$T$はコネクテッド（連結された）であるから、$({\cup }_{\beta }{U}_{\beta })\cap ({\cup }_{\gamma }{U}_{\gamma })\ne \mathrm{\varnothing }$、なぜなら、そうでなければ、$T$は、オープンセット（開集合）たち${\cup }_{\beta }{U}_{\beta }$および${\cup }_{\gamma }{U}_{\gamma }$のディスジョイント（互いに素）なユニオン（共通集合）だということになる。したがって、以下を満たすあるポイント$p\in T$、つまり、$p\in {\cup }_{\beta }{U}_{\beta }$および$p\in {\cup }_{\gamma }{U}_{\gamma }$、があることになる、それが意味するのは、ある$\beta$に対して$p\in U_{\beta }$およびある$\gamma$に対して$p\in U_{\gamma }$、したがって、$p\in U_{\beta }\cap U_{\gamma }$、それは矛盾である、なぜなら、$U_{\gamma }$は$U_{\beta }$とあるポイントを共有することになるから、$U_{\gamma }$は$U_1$と有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるということになる。したがって、$S_e$は$S_c$に等しい。

したがって、$U_2\in S_e$、そして、$U_1$と$U_2$は$S_c$のいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）である。

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3: 注

あらゆるコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）がパスコネクテッド（連結された）であるわけではないが、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンセット（開集合）たちペアはオープンセット（開集合）の方法によってコネクテッド（連結された）である。

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参考資料

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