コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のオープンセット（開集合）たちペアは有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）オープンセット（開集合）たちペアの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンセット（開集合）たちペアは有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のオープンセット（開集合）たちペア\(U_1, U_2 \subseteq T\)に対して、\(U_1\)と\(U_2\)は有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）である。
2: 証明
\(T\)の以下を満たす任意のオープンカバー\(S_c = \{U_\alpha\}\)、つまり、それは\(U_1\)および\(U_2\)を含む、を取る、それは常に可能である、なぜなら、全ポイントたちのネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）に\(U_1\)および\(U_2\)を追加したものを取ることができる。当該オープンカバーのイクイバレンス（同値）クラス\(S_e = \{U_\beta\} \subseteq S_c\)を、当イクイバレンス（同値）クラスの各要素は\(U_1\)と、\(S_c\)のいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるものであるというように取ると、それは明らかにイクイバレンス（同値）クラスである。
もしも、\(S_e\)が\(S_c\)に一致しなければ、\(S_r := S_c \setminus S_e = \{U_\gamma\}\)は空でないということになる。\(S_e \cup S_r = S_c\)はオープンカバーだから、\((\cup_\beta U_\beta) \cup (\cup_\gamma U_\gamma) = T\)、しかし、\(T\)はコネクテッド（連結された）であるから、\((\cup_\beta U_\beta) \cap (\cup_\gamma U_\gamma) \neq \emptyset\)、なぜなら、そうでなければ、\(T\)は、オープンセット（開集合）たち\(\cup_\beta U_\beta\)および\(\cup_\gamma U_\gamma\)のディスジョイント（互いに素）なユニオン（共通集合）だということになる。したがって、以下を満たすあるポイント\(p \in T\)、つまり、\(p \in \cup_\beta U_\beta\)および\(p \in \cup_\gamma U_\gamma\)、があることになる、それが意味するのは、ある\(\beta\)に対して\(p \in U_\beta\)およびある\(\gamma\)に対して\(p \in U_\gamma\)、したがって、\(p \in U_\beta \cap U_\gamma\)、それは矛盾である、なぜなら、\(U_\gamma\)は\(U_\beta\)とあるポイントを共有することになるから、\(U_\gamma\)は\(U_1\)と有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるということになる。したがって、\(S_e\)は\(S_c\)に等しい。
したがって、\(U_2 \in S_e\)、そして、\(U_1\)と\(U_2\)は有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）である。
3: 注
あらゆるコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）がパスコネクテッド（連結された）であるわけではないが、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンセット（開集合）たちペアはオープンセット（開集合）の方法によってコネクテッド（連結された）である。
