2022年11月13日日曜日

395: コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のユニバーサルプロパティ

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コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のユニバーサルプロパティの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のユニバーサルプロパティ: 任意のトポロジカルスペース（空間）間インジェクション（単射）は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、以下を満たす任意の追加のマップ（写像）、つまり、それは任意の追加のトポロジカルスペース（空間）から元のマップ（写像）のドメイン（定義域）へのマップ（写像）である、がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、元のマップ（写像）の前の追加マップ（写像）のコンポジション（合成）がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限って、の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のトポロジカルスペース（空間）たちT1,T2、任意のインジェクション（単射）f1:T1→T2に対して、f1はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、任意のトポロジカルスペース（空間）T3および任意のマップ（写像）f2:T3→T1に対して、f2がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、f1∘f2:T3→T2がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限って。

2: 証明


f1はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であると仮定する。f2はコンティヌアス（連続）であると仮定する。すると、f1∘f2は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのコンパウンド（合成）としてコンティヌアス（連続）である。f1∘f2はコンティヌアス（連続）であると仮定する。すると、任意のオープンセット（開集合）U⊆T1に対して、f1(U)はf1(T1)上でオープン（開）である、その一方、f1(U)=U′∩f1(T1)、ここで、U′⊆T2はT2上でオープン（開）である、 サブスペース（部分空間）の定義によって。f1∘f2はコンティヌアス（連続）であるので、(f1∘f2)−1(U′)=f2−1∘f1−1(U′)はT3上でオープン（開）である。しかし、f1−1(U′)=f1−1(U′∩f1(T1))=f1−1(f1(U))、しかし、f1−1(f1(U))=U、なぜなら、f1はバイジェクティブ（全単射）であるから。したがって、f2−1(U)はT3上でオープン（開）である、それが意味するのは、f2はコンティヌアス（連続）であるということ。

任意のトポロジカルスペース（空間）T3および任意のマップ（写像）f2:T3→T1に対して、f2がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、f1∘f2:T3→T2がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、と仮定する。T3=T1と取り、f2:T1→T1をアイデンティティマップ（恒等写像）、コンティヌアス（連続）、と取ろう。したがって、f1∘f2=f1:T1→T2はコンティヌアス（連続）である。f1はインジェクティブ（単射）であるので、f1′:T1→f1(T1)はバイジェクティブ（全単射）である、したがって、T3:=f1(T1)、ここで、T3はサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）と取り、f2:=f1′−1:f1(T1)→T1と取ろう。f1∘f2:f1(T1)→T2はインクルージョンであり、したがって、コンティヌアス（連続）である。したがって、f2=f1′−1はコンティヌアス（連続）であり、したがって、f1′はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。

参考資料
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