コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のユニバーサルプロパティの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を得る。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のユニバーサルプロパティ: 任意のトポロジカルスペース（空間）間インジェクション（単射）は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、以下を満たす任意の追加のマップ（写像）、つまり、それは任意の追加のトポロジカルスペース（空間）から元のマップ（写像）のドメイン（定義域）へのマップ（写像）である、がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、元のマップ（写像）の前の追加マップ（写像）のコンポジション（合成）がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限って、の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のインジェクション（単射）\(f_1: T_1 \rightarrow T_2\)に対して、\(f_1\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_3\)および任意のマップ（写像）\(f_2: T_3 \rightarrow T_1\)に対して、\(f_2\)がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、\(f_1 \circ f_2: T_3 \rightarrow T_2\)がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(f_1\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であると仮定する。\(f_2\)はコンティヌアス（連続）であると仮定する。すると、\(f_1 \circ f_2\)は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのコンパウンド（合成）としてコンティヌアス（連続）である。\(f_1 \circ f_2\)はコンティヌアス（連続）であると仮定する。すると、任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_1\)に対して、\(f_1 (U)\)は\(f_1 (T_1)\)上でオープン（開）である、その一方、\(f_1 (U) = U' \cap f_1 (T_1)\)、ここで、\(U' \subseteq T_2\)は\(T_2\)上でオープン（開）である、 サブスペース（部分空間）の定義によって。\(f_1 \circ f_2\)はコンティヌアス（連続）であるので、\((f_1 \circ f_2)^{-1} (U') = f_2^{-1} \circ f_1^{-1} (U')\)は\(T_3\)上でオープン（開）である。しかし、\(f_1^{-1} (U') = f_1^{-1} (U' \cap f_1 (T_1)) = f_1^{-1} (f_1 (U))\)、しかし、\(f_1^{-1} (f_1 (U)) = U\)、なぜなら、\(f_1\)はバイジェクティブ（全単射）であるから。したがって、\(f_2^{-1} (U)\)は\(T_3\)上でオープン（開）である、それが意味するのは、\(f_2\)はコンティヌアス（連続）であるということ。
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_3\)および任意のマップ（写像）\(f_2: T_3 \rightarrow T_1\)に対して、\(f_2\)がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、\(f_1 \circ f_2: T_3 \rightarrow T_2\)がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、と仮定する。\(T_3 = T_1\)と取り、\(f_2: T_1 \rightarrow T_1\)をアイデンティティマップ（恒等写像）、コンティヌアス（連続）、と取ろう。したがって、\(f_1 \circ f_2 = f_1: T_1 \rightarrow T_2\)はコンティヌアス（連続）である。\(f_1\)はインジェクティブ（単射）であるので、\(f'_1: T_1 \rightarrow f_1 (T_1)\)はバイジェクティブ（全単射）である、したがって、\(T_3 := f_1 (T_1)\)、ここで、\(T_3\)はサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）と取り、\(f_2 := {f'_1}^{-1}: f_1 (T_1) \rightarrow T_1\)と取ろう。\(f_1 \circ f_2: f_1 (T_1) \rightarrow T_2\)はインクルージョンであり、したがって、コンティヌアス（連続）である。したがって、\(f_2 = {f'_1}^{-1}\)はコンティヌアス（連続）であり、したがって、\(f'_1\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
