207: トポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である2ポイントたちは、より大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であ

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トポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である2ポイントたちは、より大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド性の定義を知っている。
• 読者は、任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたちは任意のより大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブスペース（部分空間）$T_1\subseteq T$、$T_1$上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたち$p_1,p_2\in T_1$に対して、$p_1$と$p_2$は、$T_1\subseteq T_2\subseteq T$である任意のより大きなサブスペース（部分空間）$T_2$上でパスコネクテッド（連結された）である。

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2: 証明

任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題によって、以下を満たすあるパス$\lambda :[0,1]\to T_1$、つまり、$\lambda (0)=p_1$および$\lambda (1)=p_2$、がある。$\lambda ([0,1])\subseteq T_1\subseteq T_2$。$\lambda$のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）である${\lambda }^{\prime }:[0,1]\to T_2$は$T_2$上のパスである、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題。任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題によって、$p_1$と$p_2$は$T_2$上でパスコネクテッド（連結された）である。

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参考資料

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