トポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である2ポイントたちは、より大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたちは任意のより大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブスペース（部分空間）\(T_1 \subseteq T\)、\(T_1\)上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたち\(p_1, p_2 \in T_1\)に対して、\(p_1\)と\(p_2\)は、\(T_1 \subseteq T_2 \subseteq T\)である任意のより大きなサブスペース（部分空間）\(T_2\)上でパスコネクテッド（連結された）である。
2: 証明
任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題によって、以下を満たすあるパス\(\lambda: [0, 1] \rightarrow T_1\)、つまり、\(\lambda (0) = p_1\)および\(\lambda (1) = p_2\)、がある。\(\lambda ([0, 1]) \subseteq T_1 \subseteq T_2\)。\(\lambda\)のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）である\({\lambda}': [0, 1] \rightarrow T_2\)は\(T_2\)上のパスである、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題。任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題によって、\(p_1\)と\(p_2\)は\(T_2\)上でパスコネクテッド（連結された）である。
