189: クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: ポイントはサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、ポイントの各ネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限って

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クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: ポイントはサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、ポイントの各ネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、クロージャー（閉包）のあるローカルキャラクタライゼーション: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、当該ポイントの各ネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限って、の記述と証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\subseteq T$
$p$: $\in T$
//

ステートメント（言明）たち:
$p\in \bar{S}$
$⟺$
$\mathrm{\forall }{N}_p\subseteq T,\in \{p\text{ の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}(N_p\cap S\ne \mathrm{\varnothing })$
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、任意のポイント$p\in T$は$S$のクロージャー（閉包）$\bar{S}$上にある、つまり、$p\in \bar{S}$、もしも、$p$の各ネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$が$S$と交わる、つまり、$N_p\cap S\ne \mathrm{\varnothing }$、場合、そしてその場合に限って。

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3: 証明

$p\notin \bar{S}$であると仮定しよう。以下を満たすあるクローズドサブセット（閉部分集合）$C\subseteq T$、つまり、$S\subseteq C$で$p$を包含しない、がある、クロージャー（閉包）の定義によって。$p\in T\setminus C$である一方で$T\setminus C$はオープン（開）、したがって、$p$のネイバーフッド（近傍）である、それは$S$と交わらない。したがって、もしも、$p\notin \bar{S}$である場合、$p$のあるネイバーフッド（近傍）で$S$と交わらないものがある、したがって、論理的対偶として、もしも、$p$のネイバーフッド（近傍）で$S$と交わらないものがない場合、それが意味するのは、$p$の各ネイバーフッド（近傍）は$S$と交わるということ、$p\in \bar{S}$。

$p$のあるネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$で$S$と交わらないものがあると仮定しよう。$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subset T$、つまり、$U_p\subseteq N_p$、がある。$U_p$は$S$と交わらない。$T\setminus U_p$はクローズド（閉）である、そして、$S\subseteq T\setminus U_p$。したがって、$p\notin \bar{S}$。したがって、もしも、$p$のあるネイバーフッド（近傍）で$S$と交わらないものがあれば、$p\notin \bar{S}$、したがって、論理的対偶として、もしも、$p\in \bar{S}$である場合、$p$のネイバーフッド（近傍）で$S$と交わらないものはない、それが意味するのは、$p$の各ネイバーフッド（近傍）は$S$と交わるということ。

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参考資料

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