クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: ポイントはサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、ポイントの各ネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クロージャー（閉包）のあるローカルキャラクタライゼーション: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、当該ポイントの各ネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限って、の記述と証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
\(p\): \(\in T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(p \in \overline{S}\)
\(\iff\)
\(\forall N_p \subseteq T, \in \{p\text{ の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\} (N_p \cap S \neq \emptyset)\)
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、任意のポイント\(p \in T\)は\(S\)のクロージャー（閉包）\(\overline{S}\)上にある、つまり、\(p \in \overline{S}\)、もしも、\(p\)の各ネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)が\(S\)と交わる、つまり、\(N_p \cap S \neq \emptyset\)、場合、そしてその場合に限って。
3: 証明
\(p \notin \overline{S}\)であると仮定しよう。以下を満たすあるクローズドサブセット（閉部分集合）\(C \subseteq T\)、つまり、\(S \subseteq C\)で\(p\)を包含しない、がある、クロージャー（閉包）の定義によって。\(p \in T \setminus C\)である一方で\(T \setminus C\)はオープン（開）、したがって、\(p\)のネイバーフッド（近傍）である、それは\(S\)と交わらない。したがって、もしも、\(p \notin \overline{S}\)である場合、\(p\)のあるネイバーフッド（近傍）で\(S\)と交わらないものがある、したがって、論理的対偶として、もしも、\(p\)のネイバーフッド（近傍）で\(S\)と交わらないものがない場合、それが意味するのは、\(p\)の各ネイバーフッド（近傍）は\(S\)と交わるということ、\(p \in \overline{S}\)。
\(p\)のあるネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)で\(S\)と交わらないものがあると仮定しよう。\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subset T\)、つまり、\(U_p \subseteq N_p\)、がある。\(U_p\)は\(S\)と交わらない。\(T \setminus U_p\)はクローズド（閉）である、そして、\(S \subseteq T \setminus U_p\)。したがって、\(p \notin \overline{S}\)。したがって、もしも、\(p\)のあるネイバーフッド（近傍）で\(S\)と交わらないものがあれば、\(p \notin \overline{S}\)、したがって、論理的対偶として、もしも、\(p \in \overline{S}\)である場合、\(p\)のネイバーフッド（近傍）で\(S\)と交わらないものはない、それが意味するのは、\(p\)の各ネイバーフッド（近傍）は\(S\)と交わるということ。
