サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、\(S\)のクロージャー（閉包）\(\overline{S}\)は\(S\)と\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）\(ac (S)\)のユニオン（和集合）である、つまり、\(\overline{S} = S \cup ac (S)\)。
2: 証明
任意のポイント\(p \in \overline{S}\)に対して、もしも、\(p \in S\)である場合、\(p \in S \cup ac (S)\)、その他の場合、クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意の ポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、その全てのネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限ってによって、\(p\)の全てのネイバーフッド（近傍）は\(S\)のあるポイントを包含している、しかし、\(p\) は\(S\)上のポイントではないので、\(p\)の全てのネイバーフッド（近傍）は(p\)以外の\(S\)のあるポイントを包含している、したがって、\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、\(p \in S \cup ac (S)\)。
任意のポイント\(p \in S \cup ac (S)\)に対して、もしも、\(p \in S\)である場合、\(p \in \overline{S}\)、その他の場合、\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、\(p\)の全てのネイバーフッド（近傍）は\(S\)のあるポイントを持つ、アキューミュレーションポイント（集積点）の定義によって、したがって、クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意の ポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、その全てのネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限ってによって、\(p \in \overline{S}\)。
