トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちはそれと空集合だけである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちは当該トポロジカルスペース（空間）および空集合だけである場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちが\(T\)および\(\emptyset\)だけである場合、そしてその場合に限って。 .
2: 証明
\(T\)のオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちは\(T\)および\(\emptyset\)だけだと仮定する。\(T\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定する。\(T = U_1 \cup U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、ここで、\(U_i\)は\(T\)上の空でないオープンセット（開集合）だということになる。\(T \setminus U_1 = U_2\)はクローズド（閉）だということになる、したがって、\(U_2\)はオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）だということになる、矛盾、したがって、\(T\)はコネクテッド（連結された）である。
\(T\)はコネクテッド（連結された）であると仮定する。\(T\)および\(\emptyset\)はオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちである。別のオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）\(U \subseteq T\)があったと仮定する。\(T \setminus U\)はオープン（開）で空でないということになる、\(U \cap (T \setminus U) = \emptyset\)、\(T = U \cup (T \setminus U)\)、したがって、\(T\)はコネクテッド（連結された）でないということになる、矛盾、したがって、\(T\)および\(\emptyset\)だけがオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちである。
