214: トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちはそれと空集合だけである場合、そしてその場合に限って

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トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちはそれと空集合だけである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちは当該トポロジカルスペース（空間）および空集合だけである場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちが$T$および$\mathrm{\varnothing }$だけである場合、そしてその場合に限って。　　　.

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2: 証明

$T$のオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちは$T$および$\mathrm{\varnothing }$だけだと仮定する。$T$はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定する。$T=U_1\cup U_2$、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、ここで、$U_i$は$T$上の空でないオープンセット（開集合）だということになる。$T\setminus U_1=U_2$はクローズド（閉）だということになる、したがって、$U_2$はオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）だということになる、矛盾、したがって、$T$はコネクテッド（連結された）である。

$T$はコネクテッド（連結された）であると仮定する。$T$および$\mathrm{\varnothing }$はオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちである。別のオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）$U\subseteq T$があったと仮定する。$T\setminus U$はオープン（開）で空でないということになる、$U\cap (T\setminus U)=\mathrm{\varnothing }$、$T=U\cup (T\setminus U)$、したがって、$T$はコネクテッド（連結された）でないということになる、矛盾、したがって、$T$および$\mathrm{\varnothing }$だけがオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちである。

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参考資料

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