216: トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性はスーパースペース（空間）に依存しない

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トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性はスーパースペース（空間）に依存しないことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および以下を満たすトポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネスト$T_1,T_2$、つまり、$T_2\subseteq T_1\subseteq T$、に対して、もしも、$T_2$が$T_1$のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）またはディスコネクテッド（連結されていない）であるならば、$T_2$は$T$のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）またはディスコネクテッド（連結されていない）である; もしも、$T_2$が$T$のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）またはディスコネクテッド（連結されていない）であるならば、$T_2$は$T_1$のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）またはディスコネクテッド（連結されていない）である。

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2: 証明

$T_2$は$T_1$のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）であると仮定する。$T_2=U_1\cup U_2$、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、ここで、$U_i$は$T_2$上で空でないオープン（開）である。トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、$U_i$はオープン（開）である、$T_2$を$T$のサブスペース（部分空間）であるとみなしたとき。したがって、$T_2$は$T$のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）である。

$T_2$は$T$のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）であると仮定する。同様に、$T_2$は$T_1$のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）である。

[$T_2$は$T_1$のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）である] $⟹$ [$T_2$は$T$のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）である]であるから、[$T_2$は$T$のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）でない] $⟹$ [$T_2$は$T_1$のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）でない]、しかし、"ディスコネクテッド（連結されていない）でない"は'コネクテッド（連結された）'以外の何物でもないから、[$T_2$は$T$のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）である] $⟹$ [$T_2$は$T_1$のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）である]。

同様に、[$T_2$は$T_1$のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）である] $⟹$ [$T_2$は$T$のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）である]。

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参考資料

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