トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性はスーパースペース（空間）に依存しないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および以下を満たすトポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネスト\(T_1, T_2\)、つまり、\(T_2 \subseteq T_1 \subseteq T\)、に対して、もしも、\(T_2\)が\(T_1\)のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）またはディスコネクテッド（連結されていない）であるならば、\(T_2\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）またはディスコネクテッド（連結されていない）である; もしも、\(T_2\)が\(T\)のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）またはディスコネクテッド（連結されていない）であるならば、\(T_2\)は\(T_1\)のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）またはディスコネクテッド（連結されていない）である。
2: 証明
\(T_2\)は\(T_1\)のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）であると仮定する。\(T_2 = U_1 \cup U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、ここで、\(U_i\)は\(T_2\)上で空でないオープン（開）である。トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、\(U_i\)はオープン（開）である、\(T_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）であるとみなしたとき。したがって、\(T_2\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）である。
\(T_2\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）であると仮定する。同様に、\(T_2\)は\(T_1\)のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）である。
[\(T_2\)は\(T_1\)のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）である] \(\implies\) [\(T_2\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）である]であるから、[\(T_2\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）でない] \(\implies\) [\(T_2\)は\(T_1\)のサブスペース（部分空間）としてディスコネクテッド（連結されていない）でない]、しかし、"ディスコネクテッド（連結されていない）でない"は'コネクテッド（連結された）'以外の何物でもないから、[\(T_2\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）である] \(\implies\) [\(T_2\)は\(T_1\)のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）である]。
同様に、[\(T_2\)は\(T_1\)のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）である] \(\implies\) [\(T_2\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）としてコネクテッド（連結された）である]。
